√35 のところが、2√35 だとテクニックが使えるかな…ということで…
$$\begin{eqnarray} \sqrt{6 + \sqrt{35}} &=& \frac{\sqrt{2} \sqrt{6 + \sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{12 + 2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{(\sqrt{5} +\sqrt{7})^2}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{7})}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{10} + \sqrt{14}}{2} \end{eqnarray}$$誤答にさえたどりつかなかったという(笑)
まず問題文を書きますと…
x, y は自然数とする。次の不等式を満たす最も小さい分母 x を求めよ。
$$\frac{12}{11} < \frac{y}{x} < \frac{11}{10}$$初見では、なんとなく通分して…
$$\frac{120}{110} < \frac{y}{x} < \frac{121}{110}$$で止まって力尽きました。
そこでPASSLABOさんの解答動画を見させていただいたうえで…
不等式を２つに分割します。
$$\frac{12}{11} < \frac{y}{x}・・・①$$ $$\frac{y}{x} < \frac{11}{10}・・・②$$不等式①を変形して…
$$\frac{y}{x} – \frac{12}{11} > 0$$さらに通分して…
$$\frac{-12x + 11y }{11x} > 0・・・③$$ここで分子を a と置きます。とうぜん不等式③を満たす自然数 x, y について a は自然数です。
$$a = -12x + 11y > 0 (aは自然数)・・・④$$不等式②も同様に変形して…分子を b と置きます(bも自然数です)。
$$\frac{11x + 10y}{10x} > 0・・・⑤$$ $$b = 11x + 10y > 0 (bは自然数)・・・⑥$$④、⑥をx, yの連立方程式として x について解くと…
$$\begin{cases} -12x + 11y = a \\ 11x + 10y = b \end{cases} \\ x = 10a + 11b・・・⑦$$ここでチャンス到来というか、式⑦の右辺でa, bが自然数なので xが最小になるのは a = 1, b = 1のときである可能性があることがわかります。
そこで、式④、⑥に a = 1, b = 1 を代入して連立方程式として x, y を求めると…
$$\begin{cases} -12x + 11y = 1 \\ 11x – 10y = 1 \end{cases} \\ \begin{cases} -120x + 110y = 10 \\ 121x – 110y = 11 \end{cases}$$ $$x = 21, y = 23$$となりました。
“The parents said the baby really loves throwing food on the floor. It sure does!”
英語で、赤ん坊の話題がでたあとで、男女の区別がつかないので、赤ん坊を it で受けることがあるのですが、ちょっと ゾッ とする感じがします。まぁ、東洋人であるわたし独特の感じでしょうけど…
まず、この方程式を見たとたんに、
と思うのが人情じゃないでしょうか。
あと、
まぁ、ひとつの見立てですが、 2021 – x をひとカタマリと見てみる感性です。
まず、確認しておきたいのは左辺は結果として実数になりますが、計算途中ででてくる √(-1) は中学で勉強する実数ではありません。つまり、有理数でもないし無理数でもないです。ではナンなのかといえば、高校で習う純虚数(複素数)とくにこの場合は虚数単位 i です。虚数単位 i は２乗すると実数 -1 になります。
$$\sqrt{-1} = i$$ $$\sqrt{-1} × \sqrt{-1} = i × i = i^2 = -1$$それに対して右辺はハナから実数です。
$$\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$ということで、
$$-1 ≠ 1$$ $$\sqrt{-1} × \sqrt{-1} ≠ \sqrt{(-1)^2}$$となります。
なぜ √2 × √3 = √6 か
上記動画の解説では mod (合同式)を使った解法が紹介されています。
わたしは力づくの式変形で解こうとしてしまいました(合同式がいまアヤフヤな感じになっていて使うことを思いつきませんでした) いちおう答えは当たっているようです。
まず1224の構造を調べるために素因数分解してみると…
$$1224 = 2^3 × 3^2 × 17$$となります。
つまり元の式は、
$$a^2 + b^2 = 2^3 × 3^2 × 17$$となります。式変形して次のようにします。
$$a^2 = 2^3 × 3^2 × 17 – b^2$$右辺を 2^2 × 3^2 でくくり
$$a^2 = 2^2 × 3^2 (2 × 17 – \frac{b^2}{2^2 × 3^2})$$ちょっと形を整えて…
$$a^2 = 6^2 (34 – \frac{b^2}{36}) $$あとは、この式を満たしそうな値(具体的には 6 × (2 から 6))を bに代入して答えをだしました。
$$ b = 6 × 2 のとき a^2 = 36 (34 – 2) ×$$ $$ b = 6 × 3 のとき a^2 = 36 (34 – 9) 〇$$ $$ b = 6 × 4 のとき a^2 = 36 (34 – 16) ×$$ $$ b = 6 × 5 のとき a^2 = 36 (34 – 25) 〇$$ $$ b = 6 × 6 のとき a^2 = 36 (34 – 36) × $$しました。
わたしのチャンネルに来てくれた最初のお客さんはヨーロッパに住んでいるアラビア人の方でした。とうぜん英語での会話となりました。英語を話しながらプレイするのしんどいなという。
正直に言うと、”総アクセス”と”ページアクセス”の違いがよくわかっていないですが、それでも３００万アクセス突破いたしました。
(ぜんぜんカネにはなりませんけど…(笑))
a と b が自然数であるとき、次の式を満たす a, b を求めよ。ただし、a < b とする。
$$ab = a + b + 5$$みたいな問題があったとき、和を積の形に式変形して考えるというテクニックをYoutube動画でならいました。以下で式変形してみます。
$$ab – a – b = 5$$ $$(a – 1)(b – 1) – 1 = 5$$ $$(a – 1)(b – 1) = 6$$あとは自明と…
a と b が自然数であるとき、次の式を満たす a, b を求めよ。ただし、a < b とする。
$$2ab = a + b + 5$$“和を積の形に式変形”ということで、
$$2ab – a – b = 5$$ $$ab – \frac{1}{2}a – \frac{1}{2}b = \frac{5}{2}$$ $$(a – \frac{1}{2})(b – \frac{1}{2}) – \frac{1}{4} = \frac{10}{4}$$ $$(a – \frac{1}{2})(b – \frac{1}{2}) = \frac{11}{4}$$ $$(2a – 1)(2b – 1) = 11$$