”三角関数の合成”の不思議

三角関数の合成は高校数学のⅡで勉強します。数式で書くと以下のような見た目です。

asinθ+bcosθ=rsin(θ+α)

sinの加法定理を使って説明できます。で、それは置いといて波としての見た目だけでどう感じるかというと…

正弦波

こんな波が少し横方向にずれて2つあったとして、それを足して重ね合わせるとまた一つのきれいな波になるって…すごくミラクルな感じがします…

またこのエントリもポエムになってしまいました(笑)



sinとcosの関係

というと、まっさきに私の頭に浮かぶのは、

$$sin^2θ + cos^2θ = 1$$

なわけです。昨日、sinの加法定理を導出しようとして、

cos(α ± β) = cosα・cosβ ∓ sinα・sinβ

まで、単位円を描いてそれに余弦定理を使ってひねくりだせたんですが、これをsinの加法定理に簡単に変換できた記憶があったのにそれを思い出せなかったんですね。

結論から言うと、

cos(90°-θ) = sinθ, sin(90°-θ) = cosθ

この関係を使うわけです。

sin(α+β) = cos(90° – (α+β)) = cos90°・cos (α+β) + sin90°・sin(α+β) = sin(α+β)

となって、アレ??となるので…

sin(α+β) = cos(90° – (α+β)) = cos((90° – α) – β) = cos(90° – α) ・cosβ + sin (90° – α) ・sinβ = sinα・cosβ + cosα・sinβ

となります。

おもしろいなぁ、sinとcosの変換に cos(90°-θ) = sinθ, sin(90°-θ) = cosθ を忘れないようにしようと思いました。私は三角関数の符号は頭の中で単位円上の点を思い浮かべてそれのx値がcos、y値がsinとしてます。

xのy%はyのx%

xのy%を数式で表すと、x × (y ÷ 100) ですね。y ÷ 100 の部分がy%を表しています。で、この式を意味は同じまま変形して、 y × (x ÷ 100)としてやることができます。で、この式を日本語にもどすと、y の x%と読むことができます。

つまり、xのy%はyのx%であると。

75の4%というと、アレいくつかなとなりますが、4の75%(つまり4の4分の3)で、答えは3とウマいハックですね。

下記のサイトで知ったのですが、たしかにそうだなと面白く思いました。

数字を入れ替えるだけ!?パーセント(%)を求めるの計算が楽になる方法が海外で話題に