因数分解を延々と練習すると脳になにが起こるか

数学を数楽にチャンネルさんの動画です

わたしは中学高校生の現役時代+塾講師として教えている5~6年のあいだに、なんどもなんども因数分解の練習をしたと思います。そうやって、延々と練習すると脳になにが起こるかというと…

$$x^2 + (2a – 3b – 6)x – 6ab + 18b$$

という式を見た時点で、

$$x^2 + (2a – 3b – 6)x – 3b(2a – 6)$$

とすればウマク因数分解できそうとすぐに気が付きます(この動画のサムネイルを見た時点で解けました)。

なにが言いたいかというと、練習をなんども繰り返すと因数分解も”ウマク”なりますと。

カントールの対角線論法

カントールの対角線論法(カントールのたいかくせんろんぽう)は、数学における証明テクニック(背理法)の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。 その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。

Wikipedia カントールの対角線論法

上記のゲーデル・エッシャー・バッハを数十年前に読んだ時も使われていました。

無限にも大小関係があった!

圏論の雰囲気だけを味わう

Masaki Koga [数学解説] さんの動画です

なんとなく雰囲気は味わえたような気がします(笑)

円の接線が半径に垂直であることの証明(中学生で理解可能!)

“インテグレイリアン”さんの動画です

インテグレイリアンさんのチャンネルにある動画です。たまたまYoutubeのオススメに表示されていたのを鑑賞させていただきました。

中学校の数学の教科書ではコレはすぅ~っとそういうコトとして書いてあるだけで、証明はないのではないでしょうか。背理法は高校レベルかもしれませんが、まぁこの手のコトが気になるような中学生の方なら納得はできるのではないでしょうか。

2^56 と 5^24 のどちらが大きいか?

数学を数楽にチャンネルさんの動画がたまたまオススメに表示されて視聴しました。

数学の問題を考えるにあたって、日本語であらわされた問題文(もしくは示したい事実)を数学のことばである数式にまず翻訳して解決の糸口をつかむというのはよく使われる戦法です。

数 a と数 b があって、例えば “a は b より大きい”という日本語を数式であらわすと、”a > b” という不等式になります。式に落とし込むことができると、意味を保ったまま式変形できたりといろいろ便利です。

今回の問題では、

$$2^{56} > 5^{24}$$ $$5^{24} > 2^{56}$$

というどちらかの式が成り立つことを示すことに成功すれば、結論がでます。

どちらでもいいですが、

$$2^{56} > 5^{24}$$

に注目すると、式変形により次のようにして

$$2^{56} – 5^{24} > 0$$

が成立することを示したいと。

あとは、上記動画の解説による式変形のテクニックを駆使して実際に示すことができると。

事実のデータに騙される-シンプソンのパラドックス-

データをどう解釈するかって、とても難しいなと改めて思いました。

上記動画でも使われている例をあげると学校Aと学校Bがあってあるテストの点の平均点が男子学生だけでみると学校Aのほうが上、女子学生だけでみると学校Aのほうが上という事実があったとしても、全学生の平均点をだしてみると学校Bのほうが上ということがありえるということです。

シンプソンのパラドックス(英: Simpson’s paradox)もしくはユール=シンプソン効果(英: Yule–Simpson effect)は1951年にE. H. シンプソン英語版)によって記述された統計学的なパラドックスである[1]。母集団での相関と、母集団を分割した集団での相関は、異なっている場合がある。つまり集団を2つに分けた場合にある仮説が成立しても、集団全体では正反対の仮説が成立することがある。

統計学者にとっては1世紀以上前からこの現象は常識であったが、哲学者、コンピュータを扱う科学者、疫学者、経済学者らは最近でもこのパラドックスに対する議論を行っている。

Wikipedia シンプソンのパラドックス

う~ん、味わい深い…

4世紀 聖アウグスティヌスは7が全世界を表す特別な数だと確信

Netflixのドキュメンタリー「宇宙に隠された暗号」で出てきたセリフです。

わたしはたぶん数に対するイメージみたいなのが極端に乏しいタイプの人間だと思います。何を手がかりにそんな確信をするのかさっぱり分からないです。

陰謀論とか都市伝説系の話題では、世界支配層はとてもカバラ数秘術が好きらしいということになっています。そして、666という数字を自分たちが支配している民衆に繰り返し見せるのが好きってことになっています。これもなんでそんなことするのか意図みたいなのがまったくわかりません。

聞いた話ではあのピタゴラスも個々の数に意味を見出していたらしいですね。まぁ、わたしにはそのセンスが欠けているという意味で縁がない世界なのかなと思っています。

実数から複素数そして次

というわけで複素数を復習してます…

中学校で習う実数は数直線上の一点として図形的にイメージできます。

高校で習う複素数は複素数平面上の一点として図形的にイメージできます。

アマチュアのサル知恵で、じゃ、複素数の次の数の概念は、空間上の一点になるのかななんていま妄想しました。

数の概念の拡張にもとなう物理学の発展

ユークリッドの互除法とたわむれる

正の整数 a, b があって、a を bで割ったときの商 q と余り r の関係を式にすると次のようになります。

$$a = bq + r  (0 ≦ r < b) ・・・①$$

ここで、a と b の最大公約数を m とします。そして式①を変形して、

$$r = a – bq ・・・②$$

この式の右辺の第一項には a、第二項には b が因数として含まれているため、右辺全体として a と b の最大公約数 m の倍数になっています。つまり、a と b の最大公約数 m は r の約数でもあるわけです。式にしてみると次のような感じでしょうか。

$$r = mα$$

次に、b と r の最大公約数を n とします。そして、上記の議論から a と b の最大公約数 m も b と r の公約数であることが分かっているので、公約数としては n は最大公約数なので、次のように言えます。

$$m ≦ n・・・③$$

ここで、 b と r の最大公約数 n を意識しながら式①を見てみると、右辺は 第一項に b、第二項に r を因数として含むため、右辺全体として n の倍数になっていることがわかります。これをあえて式にしてみると次のようになります。

$$a = nβ$$

つまり、b と r の最大公約数 n は、a と b の公約数でもあるとわかりました。a と b の公約数としては、m が最大公約数なので、次の関係が成り立ちます。

$$n ≦ m・・・④$$

そして、式③と式④からじつは、

$$m = n$$

となります。


$$a = bq + r  (0 ≦ r < b) ・・・①$$

まとめると、正の整数 a, b の割り算の式①の関係が成り立っているとき、a と b の最大公約数 m と b と r の最大公約数 n は等しいといえます。