所長：峯島雄治 <yuji@minejima.jp>
Youtube動画で鑑賞したのですが、元ネタの動画を見失ってしまいました。
9 × 1 = 9
9 × 2 = 18 (1 + 8 = 9)
9 × 3 = 27 (2 + 7 = 9)
9 × 4 = 36 (3 + 6 = 9)
9 × 5 = 45 (4 + 5 = 9)
9 × 6 = 54 (5 + 4 = 9)
9 × 7 = 63 (6 + 3 = 9)
9 × 8 = 72 (7 + 2 = 9)
9 × 9 = 81 (8 + 1 = 9)
9 × 10 = 90 (9 + 0 = 9)
と、掛け算の九九で９の段の答えの各ケタの数を足すと９になるというものです。
で、面白いと思って考えてみると…
9 × 2 = 9 + 9 = (9 + 1) + 8
9 × 3 = 9 + 9 + 9 = (9 + 1) + (9 + 1) + 7
9 × 4 = 9 + 9 + 9 + 9 = (9 + 1) + (9 + 1) + (9 + 1) + 6
というカラクリだったという…
が整数となる自然数 n を求めよ。
わたしが真っ先に頭に浮かんだのは…
$$\begin{eqnarray} \sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} &=& \sqrt{2^8(1 + 2^3 + 2^{n-8})} \\ &=& 2^4\sqrt{1 + 2^3 + 2^{n-8}} \\ &=& 16\sqrt{9 + 2^{n-8}} \\ \end{eqnarray}$$です。で、9 + 2^(n-8) = 25 だったらつごうがいいな…おっと、n = 12 でうまくいきそう…とあたりをつけておいて…
ふぅ～…と 2^n の因数分解的な意味での”構造”がすこし見えてきました。
野生の勘ですが、2^n で n が2の累乗の指数の位置にあるので、右辺もそんな感じで考えてみると…(初見ではコレを思いつかなかったです)
$$2^s = k – 48 \\ 2^t = k + 48とする。\\ s, t は 0 以上の整数とする。\\ 当然、s < t で s + t = n \\ すると…\\ 2^s + 48 = k \\ 2^t – 48 = k \\ から\\ 2^t – 2^s = 96 \\ 96の構造を素因数分解で確かめて… \\ 2^t – 2^s = 2^5・3 \\ 変数が s と t の２つあって、等式(方程式)が1つしかないので、\\ なんらかの構造(因数分解)的な性質を使うほかないと… \\ 2^s(2^{t-s} – 1) = 2^5・3 \\ ここで、2^{t-s}-1 は奇数なので… \\ 2^{t-s} – 1 = 3 \\ すると、2^s = 2^5 つまり、s = 5 そして t = 7 \\ よって n = s + t = 12\\ $$カージオイド（英: cardioid）は、極座標の方程式 r = a(1 + cosθ))によって表される曲線である。心臓形（しんぞうけい）とも呼ばれる。心臓に似た形のためこの名称が付いた（ギリシア語: καρδιοειδής, kardioeides) =「καρδιά (kardia, 心臓）」 + 「είδος (eidos, 形）」）。
Wikipedia カージオイド
カージオイドって高校数学Ⅲで習うらしいですが、恥ずかしながら、わたしは初めて知りました。
で、外側を回っている円ですが、なんとなく中心の円を一周するあいだに２回転して見えるなと。(実際そう断言しているYoutube数学クイズ動画を見て、なんかヘンだなと思って調べました)
実際は、上記画像(Wikipediaからパクりました)でも明らかなように、外側の円の円周の一点の軌跡を表す赤い線(カージオイド)が中心の円に接するのは一度です。つまり一回転しているだけと。
√35 のところが、2√35 だとテクニックが使えるかな…ということで…
$$\begin{eqnarray} \sqrt{6 + \sqrt{35}} &=& \frac{\sqrt{2} \sqrt{6 + \sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{12 + 2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{(\sqrt{5} +\sqrt{7})^2}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{7})}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{10} + \sqrt{14}}{2} \end{eqnarray}$$誤答にさえたどりつかなかったという(笑)
まず問題文を書きますと…
x, y は自然数とする。次の不等式を満たす最も小さい分母 x を求めよ。
$$\frac{12}{11} < \frac{y}{x} < \frac{11}{10}$$初見では、なんとなく通分して…
$$\frac{120}{110} < \frac{y}{x} < \frac{121}{110}$$で止まって力尽きました。
そこでPASSLABOさんの解答動画を見させていただいたうえで…
不等式を２つに分割します。
$$\frac{12}{11} < \frac{y}{x}・・・①$$ $$\frac{y}{x} < \frac{11}{10}・・・②$$不等式①を変形して…
$$\frac{y}{x} – \frac{12}{11} > 0$$さらに通分して…
$$\frac{-12x + 11y }{11x} > 0・・・③$$ここで分子を a と置きます。とうぜん不等式③を満たす自然数 x, y について a は自然数です。
$$a = -12x + 11y > 0 (aは自然数)・・・④$$不等式②も同様に変形して…分子を b と置きます(bも自然数です)。
$$\frac{11x + 10y}{10x} > 0・・・⑤$$ $$b = 11x + 10y > 0 (bは自然数)・・・⑥$$④、⑥をx, yの連立方程式として x について解くと…
$$\begin{cases} -12x + 11y = a \\ 11x + 10y = b \end{cases} \\ x = 10a + 11b・・・⑦$$ここでチャンス到来というか、式⑦の右辺でa, bが自然数なので xが最小になるのは a = 1, b = 1のときである可能性があることがわかります。
そこで、式④、⑥に a = 1, b = 1 を代入して連立方程式として x, y を求めると…
$$\begin{cases} -12x + 11y = 1 \\ 11x – 10y = 1 \end{cases} \\ \begin{cases} -120x + 110y = 10 \\ 121x – 110y = 11 \end{cases}$$ $$x = 21, y = 23$$となりました。
まず、この方程式を見たとたんに、
と思うのが人情じゃないでしょうか。
あと、
まぁ、ひとつの見立てですが、 2021 – x をひとカタマリと見てみる感性です。
まず、確認しておきたいのは左辺は結果として実数になりますが、計算途中ででてくる √(-1) は中学で勉強する実数ではありません。つまり、有理数でもないし無理数でもないです。ではナンなのかといえば、高校で習う純虚数(複素数)とくにこの場合は虚数単位 i です。虚数単位 i は２乗すると実数 -1 になります。
$$\sqrt{-1} = i$$ $$\sqrt{-1} × \sqrt{-1} = i × i = i^2 = -1$$それに対して右辺はハナから実数です。
$$\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1$$ということで、
$$-1 ≠ 1$$ $$\sqrt{-1} × \sqrt{-1} ≠ \sqrt{(-1)^2}$$となります。
なぜ √2 × √3 = √6 か
上記動画の解説では mod (合同式)を使った解法が紹介されています。
わたしは力づくの式変形で解こうとしてしまいました(合同式がいまアヤフヤな感じになっていて使うことを思いつきませんでした) いちおう答えは当たっているようです。
まず1224の構造を調べるために素因数分解してみると…
$$1224 = 2^3 × 3^2 × 17$$となります。
つまり元の式は、
$$a^2 + b^2 = 2^3 × 3^2 × 17$$となります。式変形して次のようにします。
$$a^2 = 2^3 × 3^2 × 17 – b^2$$右辺を 2^2 × 3^2 でくくり
$$a^2 = 2^2 × 3^2 (2 × 17 – \frac{b^2}{2^2 × 3^2})$$ちょっと形を整えて…
$$a^2 = 6^2 (34 – \frac{b^2}{36}) $$あとは、この式を満たしそうな値(具体的には 6 × (2 から 6))を bに代入して答えをだしました。
$$ b = 6 × 2 のとき a^2 = 36 (34 – 2) ×$$ $$ b = 6 × 3 のとき a^2 = 36 (34 – 9) 〇$$ $$ b = 6 × 4 のとき a^2 = 36 (34 – 16) ×$$ $$ b = 6 × 5 のとき a^2 = 36 (34 – 25) 〇$$ $$ b = 6 × 6 のとき a^2 = 36 (34 – 36) × $$a と b が自然数であるとき、次の式を満たす a, b を求めよ。ただし、a < b とする。
$$ab = a + b + 5$$みたいな問題があったとき、和を積の形に式変形して考えるというテクニックをYoutube動画でならいました。以下で式変形してみます。
$$ab – a – b = 5$$ $$(a – 1)(b – 1) – 1 = 5$$ $$(a – 1)(b – 1) = 6$$あとは自明と…
a と b が自然数であるとき、次の式を満たす a, b を求めよ。ただし、a < b とする。
$$2ab = a + b + 5$$“和を積の形に式変形”ということで、
$$2ab – a – b = 5$$ $$ab – \frac{1}{2}a – \frac{1}{2}b = \frac{5}{2}$$ $$(a – \frac{1}{2})(b – \frac{1}{2}) – \frac{1}{4} = \frac{10}{4}$$ $$(a – \frac{1}{2})(b – \frac{1}{2}) = \frac{11}{4}$$ $$(2a – 1)(2b – 1) = 11$$