4世紀 聖アウグスティヌスは7が全世界を表す特別な数だと確信

Netflixのドキュメンタリー「宇宙に隠された暗号」で出てきたセリフです。

わたしはたぶん数に対するイメージみたいなのが極端に乏しいタイプの人間だと思います。何を手がかりにそんな確信をするのかさっぱり分からないです。

陰謀論とか都市伝説系の話題では、世界支配層はとてもカバラ数秘術が好きらしいということになっています。そして、666という数字を自分たちが支配している民衆に繰り返し見せるのが好きってことになっています。これもなんでそんなことするのか意図みたいなのがまったくわかりません。

聞いた話ではあのピタゴラスも個々の数に意味を見出していたらしいですね。まぁ、わたしにはそのセンスが欠けているという意味で縁がない世界なのかなと思っています。

実数から複素数そして次

というわけで複素数を復習してます…

中学校で習う実数は数直線上の一点として図形的にイメージできます。

高校で習う複素数は複素数平面上の一点として図形的にイメージできます。

アマチュアのサル知恵で、じゃ、複素数の次の数の概念は、空間上の一点になるのかななんていま妄想しました。

数の概念の拡張にもとなう物理学の発展

ユークリッドの互除法とたわむれる

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正の整数 a, b があって、a を bで割ったときの商 q と余り r の関係を式にすると次のようになります。

$$a = bq + r  (0 ≦ r < b) ・・・①$$

ここで、a と b の最大公約数を m とします。そして式①を変形して、

$$r = a – bq ・・・②$$

この式の右辺の第一項には a、第二項には b が因数として含まれているため、右辺全体として a と b の最大公約数 m の倍数になっています。つまり、a と b の最大公約数 m は r の約数でもあるわけです。式にしてみると次のような感じでしょうか。

$$r = mα$$

次に、b と r の最大公約数を n とします。そして、上記の議論から a と b の最大公約数 m も b と r の公約数であることが分かっているので、公約数としては n は最大公約数なので、次のように言えます。

$$m ≦ n・・・③$$

ここで、 b と r の最大公約数 n を意識しながら式①を見てみると、右辺は 第一項に b、第二項に r を因数として含むため、右辺全体として n の倍数になっていることがわかります。これをあえて式にしてみると次のようになります。

$$a = nβ$$

つまり、b と r の最大公約数 n は、a と b の公約数でもあるとわかりました。a と b の公約数としては、m が最大公約数なので、次の関係が成り立ちます。

$$n ≦ m・・・④$$

そして、式③と式④からじつは、

$$m = n$$

となります。


$$a = bq + r  (0 ≦ r < b) ・・・①$$

まとめると、正の整数 a, b の割り算の式①の関係が成り立っているとき、a と b の最大公約数 m と b と r の最大公約数 n は等しいといえます。

多面体

三角柱、四角錐などのように平面で囲まれた立体を多面体という。

数研出版 数学A

この定義だと、円柱は多面体とは言わないのだなぁと…

いちおう念のためにWikipedia先生に聞いてみると…

多面体(ためんたい、英: polyhedron)は、複数(4つ以上)の平面に囲まれた立体のこと。複数の頂点を結ぶ直線のと、その辺に囲まれたによって構成される。したがって、円柱などの曲面をもつものは含まず、また、すべての面の境界が直線である場合に限られる。

Wikipedia 多面体

やっぱり円柱は側面が曲面なので多面体とは言わないっぽいですね。


まったりとしたペースで数学を勉強しなおしています。現役の学生だったときなら面倒くさくて、テストの点になりそうもないところは飛ばしていましたが、いまは趣味としてじっくり数学を味わっています。

ガチャの確率計算くらいできるようになろう!

という呼びかけです。

ガチャの当たり確率が0.3%であるとき、100回引いたときに全部ハズレる確率とか計算できていないで数万円とかブッコんでいるって話をわりとよく聞くのでこんなこと言い出しました。

ちなみにこういう確率計算は高校数学Aで勉強します。


当たりの確率が0.3%のガチャを100回引いて全部ハズレる確率は、確率99.7%のハズレが100回続く確率ですので、0.997の100乗、

0.997^100 = 0.997 * 0.997 * 0.997 * 0.997 ….= 0.74048… ≒ 0.74

つまり、74%の確率で全部外れますね。


すべてのクジは当たるか外れるかの1/2の確率
確率1/10の外れを引くと怒り出す人

作図がおもしろい!

数学における作図とは、コンパスと定規のみでいろいろ描くってヤツです。

いま高校の数学Aの教科書での作図を勉強しているんですが、作図で加減乗除の計算をやってしまうところにシビれています。

まぁ、このエントリもおじさんのポエムになってしまいましたね(笑)

分数の割り算

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を分数の掛け算に変形できることを示そうという数学勉強ノートです。

割り算の定義を以下のようにするとします。(フィーリングなんで数学的厳密さは求めません)


$$a × b = c ・・・ ①$$

という実数a, b, cの間に掛け算の関係があるとき、

$$c ÷ b = a ・・・ ②$$

となるような演算(割り算)÷が存在するとする。また②が成立するときは①も成立するとする。


このとき次のような等式を考えてみると、

$$(\frac{a}{b} × \frac{d}{c}) × (\frac{c}{d}) = \frac{a}{b}$$

これは式①のような2つの数の掛け算の形の等式なので、式②に相当する÷を使った等式を考えると、

$$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c}$$

が成り立つ。これで分数の割り算である左辺を分数の掛け算である右辺で表すことができた。

高校数学の美しい物語さんが書かれた上記の本をさっそく買って読んでこんなメモを書いてみました。

組合わせと順列

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数学勉強ノートです。


組合わせは、いくつかのものの中から一部を取り出したもので、取り出されたものの順序は考えない。ある袋に入っている異なるもののなかから、いくつかを同時に取り出して 別の袋へ入れたという操作をイメージするとわかりやすい。

例としてa, b, c, dの4個の文字の中から、異なる3個を同時にとりだす組合わせを考える。

たとえば、組合わせ a-b-c を考えることができるが、このとき、組合わせとしては、a-b-c と b-a-c や c-b-a などは同じものとみなす。

異なるn個のものの中から異なるr個を取り出し、順序は考慮しないで1組にしたものを、n個からr個取る組合わせといい、その総数(場合の数)を

$${}_n \mathrm{ C }_r$$

で表す。記号CはCombination(組合せ)を表す。


順列とは、いくつかのものの中からその一部を取り出して順序をつけて並べたもの。

例としてa, b, c, dの4個の文字の中から、異なる3個をとって一列に並べる順列を考える。

たとえば、a-b-cなどがその例となる。ここで順列としては、順序がちがうと異なるものとして認識するので、 a-b-c と b-a-c は異なるものとして扱う。

異なるn個のものの中から、異なるr個を取り出して並べる順列を、n個からr個取る順列といい、その総数(場合の数)を

$${}_n \mathrm{ P }_r$$

で表す。記号PはPermutation(順列)を表す。


初期状態: 最初に袋Aに1, 2, 3, …, nと番号が書いてあるボールがn個入っているとする。

操作1:この袋Aからr個のボールを取り出し、袋Bに入れるとする。これはn個のものからr個を取り出す組み合わせなので、その総数(場合の数)は

$${}_n \mathrm{ C }_r$$

と表記できる。

操作2:操作1のあとで袋Bに入っているr個のボールを順序をつけて並べ順列を作る。この順列の総数(場合の数)は、r個の中からr個をとる順列なので

$${}_r \mathrm{ P }_r = r!$$

と表記できる。

操作1と操作2を合わせて考えると、n個の中からr個とる順列を表しているので、それらの総数(場合の数)は

$${}_n \mathrm{ P }_r = r!{}_n \mathrm{ C }_r $$

となる。

メンデルさん…

数研出版 数学Ⅰより引用


イギリスの統計学者フィッシャー(1890-1962)は数学に基礎づけられた現代の統計学を確立し、その視点から適切な実験のありかたを具体的に開発した。統計学は数学のもつ普遍性にも支えられて、医学や薬学から心理学や社会学までデータを用いるすべての分野に関わる。

フィッシャーの研究のエピソードの一つを紹介しよう。

エンドウ豆の交配実験に基づいてメンデル(1822-1884)が発表した遺伝子に関する法則が、1900年に再発見された。遺伝学の発展の時代に育ったフィッシャーは、メンデルの法則ダーウィン(1809-1882)が1859年に著書『種の起源』で提唱した進化論の関係を整理するために、1936年に発表した論文でメンデルの論文を詳細に再検討した。フィッシャーは統計学的方法によって、メンデルの先見の明を確認すると同時に、メンデルが論文で報告した一部のデータについては、散らばりが少なく、メンデルの法則に合いすぎていて、実験によって得られたとおりの数値とは考えがたいことを発見した。


エンジニア失格

経済現象と2次関数

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数研出版 数学Ⅰ(118ページ)より引用


変化する量の間の関係を「関数」としてとらえる考え方は、自然科学、社会科学の中でもさまざまな形で用いられている。一例として、学校の売店で売られているパンの価格を考察してみよう。

簡単のため、パンは1種類のみであると仮定し、

  • 1個の販売価格をx円
  • 1個あたりの原価を70円
  • 1日あたりに売り上げる個数をy個
  • 1日あたりに得られる利潤をz円

とする。このとき、1個販売するごとの利益はx-70円である。一方、1日に売り上げる個数は、パンの価格が高くなると少なくなると考えられるので、yはxが増加すると減少する。そのようなxの関数yの例として、ここではyが

$$y=170-x (ただし、70≦x≦170とする)$$

という1次関数で表されると仮定しよう。このとき、利潤zは

$$z=(x-70)y=(x-70)(170-x)=-x^2+240x-11900$$

となり、価格xの2次関数となる。この式を平方完成すると、

$$z=-(x-120)^2+2500$$

という形が得られるので、1個120円で売るときに最大の利潤2500円が得られることがわかる。

ここで考えているのは売り手が1つしかない状況であり、店舗の間の競争などの影響を考えていない。現実の出来事をより正確に理解するためには、より複雑な考え方が必要となるが、その場合でも数学的な手法はなくてはならないものとなっている。経済学においても、いろいろな場面で数学が活躍するのである。

2つの集合があるとき…

数学勉強ノートです

集合とは

まず2つの集合、集合Pと集合Qがあるとします。

この2つの集合をつかってさらに新しい集合をひねくりだすとして…

集合Pと集合Qの要素からなる集合Aというものを考えることができます。

A=P∪Q

と記号では書いて、

集合Aは集合Pと集合Qの和集合である

と言います。


集合Pの要素でありかつ集合Qの要素でもあるモノを要素とする集合Bというものを考えることができます。

B=P∩Q

と記号では書いて、

集合Bは集合Pと集合Qの共通部分である

と言います。


2020年3月8日追記 ”なんで積集合といわずに共通部分と呼ぶのかな?”と思っていたのですがWikipedia先生によると…

数学において、集合族共通部分(きょうつうぶぶん、: intersection)とは、与えられた集合の集まり(族)全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。共通集合(きょうつうしゅうごう)、交叉(こうさ、交差)、交わり(まじわり、meet)、積集合(せきしゅうごう)、積(せき)[1]、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。

Wikipedia 共通部分(数学)

なるほど…

条件”実数a, 実数bで少なくとも一方は無理数”の否定

というのが問題に出てきてすこし考えてしまいました。勉強ノートです。

      a    
    有   無
 有      〇
b  
 無  〇   〇 

aとbが有理数(有と表記)、無理数(無と表記)と2つの場合を取りえるので、組み合わせ(a, b)すべての場合の数は2×2=4です。

この4つの場合のうち、”a, bの少なくとも一方は無理数”というのは上記の表のように、(a、b) = (無、有)、(無、無)、(有、無)の3つの場合です。

そして、それの否定は、とうぜん(有、有)つまり、”a、bがともに有理数”という条件になります。

おもしろ~ぃ(笑)


そういえば中学の確率の問題で、袋から赤か白の玉を1つづつ取り出すって試行を何度かやる場合、”すくなくとも1回は赤が出る確率を求めよ”という問題を解くときの定石は、

少なくとも1つ赤がでる確率 = 1 – 全部白がでる確率

という感じでした。

集合とは

勉強ノートです…(参考文献 数研出版 数学Ⅰ)


数学において集合とは、範囲がはっきりしたものの集まりをいう。

例えば、範囲がはっきりしないものの集まりとは「大きい数の集まり」などである。”大きい数”という言葉があいまいなので数学的な集合とは言えない。

それに対して、範囲がはっきりしているものの集まりとは「1から10までの自然数の集まり」などである。

また、集合を構成している1つ1つのものを、その集合の要素という。

(範囲がはっきりしてさえいれば、要素は有限個でも無限個でも数学的に集合とみなすことができる。)

「1から10までの自然数の集まり」を集合Pとするとき、例えば3は集合Pの要素である。

これを記号で、

3∈P

と表記する。

また100は集合Pの要素ではない。これを記号で、

100 ∉ P

と表記する。


集合の表し方(その1) {}の中に要素を全部列挙

1から10までの自然数の集合P

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

100以下の正の偶数全体の集合B

B = {2, 4, 6, ……, 100}

上記集合Bの例のように、要素の個数が多かったり、無限に続くことを表すのに省略記号”……”を用いて表すことがある。

集合の表し方(その2) 説明的な書き方 {要素の一般形|条件などの説明}

1より大きく3より小さい実数全体の集合D

D = {x | 1 < x < 3, xは実数}

正の偶数全体の集合E

E = {2n | n = 1, 2, 3, ……}

有限個の要素からなる集合を有限集合といい、無限に多くの要素からなる集合を無限集合という。

式の値 a^2 + ab + b^2 の範囲

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大学の入試問題をちょっと解いていて、a, bに整数が入るとして、

$$a^2 + ab + b^2$$

のとりえる値の範囲、もっと言えば負の値になることがあるか分かれば便利という場面になりました。(なんとなく、負の値にはならないようなフワっとした印象はあります…)

ただそのままでは$$a^2 + b^2$$の部分は正になるとわかりますが、abは負になることもありそうなので、全体として正とか負とか言い切るのは難しそうです。ということで、式変形してなにか手掛かりをつかみたいところです。

最初に、平方完成で、

$$a^2 + ab + b^2 = (a – b)^2 + 3ab$$

としてみたんですが、依然として3abが負になることもあるしということで進展していない感じ…

で、

$$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$$

とすると、有理数の2乗つまり正の数(または0)をたしているだけなので、式全体として非負数になることがしめせました。ここらへんがスラスラと出てこないと難しめの大学の問題は解けないんだなぁと、ちょっと、私も衰えているなぁと感慨深いです。

単項式

勉強ノートです。

単項式というと、係数つまり数×文字をいくつか掛け合わせたもの。

つまり、2abcとか3x^2すなわち 3 × x × x とかのこととフワっと理解していたんですが、x^2の指数2が負(の整数)の場合は許されているのかなという疑問がわきました。で、wikipediaで調べたところフツウの感じでは指数が負の場合は考えないのかなという感じです。

単項式とは、変数冪積(べきせき、power product[注釈 1]係数と呼ばれる定数との積として書ける多項式の一種を言う。任意の変数 x に対する x0 に関して空積の規約のもと 1 (=x0) と見なされるから、定数も定数項のみからなる単項式と考えるのが普通である。

変数を x, y, z とし、係数を複素数にとれば

−7x5 や (3 − 4i)x4yz13

などを単項式の例に挙げることができる。多項式における変数の冪指数は非負整数に限られるから、ここでの冪積に現れる冪指数もそのようなものに限る。ただし、 …

Wikipedia 単項式

Wikipediaの英語版でもフツウは指数部分は非負数としていました。

ギリシャ文字

ギリシア文字は、古代ギリシア人ギリシア語を表記するため、フェニキア文字を元に作った文字である。ラテン文字キリル文字は、このギリシア文字を元に、後に生まれたものである。今日でも現代ギリシア語の表記に用いられ、また非ギリシア語圏でも、自然科学(主に物理学数学の分野)を始めとする様々の分野で使われている。

Wikipedia ギリシャ文字

ラテン文字というのは英語を表記するのに我々がなじんでいるローマ字のことですね。

大文字小文字読み方
Α α アルファ
Β β ベータ
Γ γ ガンマ
Δ δ デルタ
Ε ε エプシロン
Ζ ζ ゼータ
Η η エータ
Θ θ シータ
Ι ι イオタ
Κ κ カッパ
Λ λ ラムダ
Μ μ ミュー
Ν ν ニュー
Ξ ξ クシー
Ο ο オミクロン
Π π パイ
Ρ ρ ロー
Σ σ シグマ
Τ τ タウ
Υ υ ユプシロン
Φ φ ファイ
Χ χ カイ
Ψ ψ プサイ
Ω ω オメガ

数の話だったのが図形の話になって…

高校数学Ⅲの教科書で、複素数のところを読んでいました。まず複素数というだけあって、”数”なわけです。

数ではあるけど、それを図形的にイメージするのに複素数平面というものにプロットしてみると今度はそれは図形としても見ることができるようになります。

ベタな例ですが、

複素数に関する方程式で、αは複素数、は正の実数とすると、複素数平面上で

α|=

という方程式を満たす点全体は点αを中心とした半径の円になります。

この”数”と”図形”を結び付けて考えてみようっていう発想は味わい深いです。

この例にみられる方程式の解が円になるっていうのは、複素数平面というものをひねくりだした結果としてそういうことになったわけです。