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PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafe チャンネルさんの動画です
いや~、解けませんでしたw
誤答にさえたどりつかなかったという(笑)
まず問題文を書きますと…
x, y は自然数とする。次の不等式を満たす最も小さい分母 x を求めよ。
$$\frac{12}{11} < \frac{y}{x} < \frac{11}{10}$$
初見では、なんとなく通分して…
$$\frac{120}{110} < \frac{y}{x} < \frac{121}{110}$$
で止まって力尽きました。
そこでPASSLABOさんの解答動画を見させていただいたうえで…
不等式を2つに分割します。
$$\frac{12}{11} < \frac{y}{x}・・・①$$
$$\frac{y}{x} < \frac{11}{10}・・・②$$
不等式①を変形して…
$$\frac{y}{x} – \frac{12}{11} > 0$$
さらに通分して…
$$\frac{-12x + 11y }{11x} > 0・・・③$$
ここで分子を a と置きます。とうぜん不等式③を満たす自然数 x, y について a は自然数です。
$$a = -12x + 11y > 0 (aは自然数)・・・④$$
不等式②も同様に変形して…分子を b と置きます(bも自然数です)。
$$\frac{11x + 10y}{10x} > 0・・・⑤$$
$$b = 11x + 10y > 0 (bは自然数)・・・⑥$$
④、⑥をx, yの連立方程式として x について解くと…
$$\begin{cases}
-12x + 11y = a \\
11x + 10y = b
\end{cases} \\
x = 10a + 11b・・・⑦$$
ここでチャンス到来というか、式⑦の右辺でa, bが自然数なので xが最小になるのは a = 1, b = 1のときである可能性があることがわかります。
そこで、式④、⑥に a = 1, b = 1 を代入して連立方程式として x, y を求めると…
$$\begin{cases}
-12x + 11y = 1 \\
11x – 10y = 1
\end{cases}
\\
\begin{cases}
-120x + 110y = 10 \\
121x – 110y = 11
\end{cases}$$
$$x = 21, y = 23$$
となりました。