x^5 + x^4 + 1 を因数分解せよ

数学を数楽にチャンネルからの動画

まず最初に、これはこの式を見たときの私の個人的なインスピレーションだったので、どうしてそう思ったかは言語化が難しいですが…

コレ、

$$ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) $$

とか

$$ x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$$

という公式を使えるような気がすると感じました。

でも、x^5 + x^4 + 1 にx^3の項がナイので、そういうときは定石的に、同じものを足して引くという技をつかいます…

$$\begin{eqnarray} x^5 + x^4 + 1 &=& x^5 + x^4 + x^3 – x^3 + 1 \\ &=& x^3(x^2 + x + 1) – (x^3 – 1) \\ &=& x^3(x^2 + x + 1) – (x – 1)(x^2 + x + 1) \\ &=& (x^2 + x + 1)(x^3 – x + 1) \\ \end{eqnarray}$$

円:中心角は円周角の2倍 ⇒ どの円周角も同じ大きさ

図で示せばわかりやすいのですが、手元に手軽なツールがないので…

ある円の円周上にある弧を定めます。その弧が作る円周角は頂点を円周上のどこにでもとることができるので(弧の上は除外するとします)、頂点の異なる円周角をいくつでも想定することができます。このとき、このひとつの弧がつくる、いろいろな円周角同士の大きさはどうなるか…。

ここで円周角からいったん離れ、円周上のある弧が作る中心角を考えます。中心角を考えるとき、その頂点はつねに円の中心なので、ある弧がつくる中心角はつねにひとつだけで、その角の大きさもつねにひとつです。

次に、円周上のある弧が作る円周角と中心角の大きさの関係を考えます。結論から言うと、中心角は円周角の2倍であることを数学的に証明できます。この証明はたぶん中学数学の教科書に書いてあります。

以上の説明により、どの円周角の2倍もあるひとつの中心角と等しくなるということは、当然、すべての円周角の大きさは同じということになります。

仏教・ヨガの哲理は最終的に数学を使って表現されるはず

Masaki Koga [数学解説] さんの動画です

自分でもわかって言っている自信は正直ないですが(笑)。そうなる気がする、もしくは、そうなるべき。なぜなら、誤解が多すぎるからという感じです。

ヨガ・仏教の経典などで述べられている人格や心境はある信念体系にのっとったモノで、数学的に厳密に捕まえることができる気がします(もしくは”無記”の部分が明確にできるはず)。

ここらへん、”ブッダ”としてのリファレンス人格である釈尊が過去のヒトなので、ヨガ界隈で聖人とされているひとを実験対象にせざるを得ないのかなと思っています。(物質化とか手品じみたことやってないで、すこしは協力してくださいよという…)

掛け算九九の9の段のナゾ

Youtube動画で鑑賞したのですが、元ネタの動画を見失ってしまいました。

9 × 1 = 9

9 × 2 = 18 (1 + 8 = 9)

9 × 3 = 27 (2 + 7 = 9)

9 × 4 = 36 (3 + 6 = 9)

9 × 5 = 45 (4 + 5 = 9)

9 × 6 = 54 (5 + 4 = 9)

9 × 7 = 63 (6 + 3 = 9)

9 × 8 = 72 (7 + 2 = 9)

9 × 9 = 81 (8 + 1 = 9)

9 × 10 = 90 (9 + 0 = 9)

と、掛け算の九九で9の段の答えの各ケタの数を足すと9になるというものです。

で、面白いと思って考えてみると…

9 × 2 = 9 + 9 = (9 + 1) + 8

9 × 3 = 9 + 9 + 9 = (9 + 1) + (9 + 1) + 7

9 × 4 = 9 + 9 + 9 + 9 = (9 + 1) + (9 + 1) + (9 + 1) + 6

というカラクリだったという…

√(2^8 + 2^11 + 2^n)が整数となる自然数 n をもとめよ

PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafeさんの動画です

$$\sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n}$$

が整数となる自然数 n を求めよ。


わたしが真っ先に頭に浮かんだのは…

$$\begin{eqnarray} \sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} &=& \sqrt{2^8(1 + 2^3 + 2^{n-8})} \\ &=& 2^4\sqrt{1 + 2^3 + 2^{n-8}} \\ &=& 16\sqrt{9 + 2^{n-8}} \\ \end{eqnarray}$$

です。で、9 + 2^(n-8) = 25 だったらつごうがいいな…おっと、n = 12 でうまくいきそう…とあたりをつけておいて…


$$\sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} = k とする。(kは正の整数) \\ 2^8 + 2^{11} + 2^n = k^2 \\ 2^n = k^2 – 2^8 – 2^{11} \\ 2^n = k^2 – 2^8(1 + 2^3) \\ 2^n = k^2 – 16^2・3^2 \\ 2^n = (k – 48)(k + 48) \\ $$

ふぅ~…と 2^n の因数分解的な意味での”構造”がすこし見えてきました。

野生の勘ですが、2^n で n が2の累乗の指数の位置にあるので、右辺もそんな感じで考えてみると…(初見ではコレを思いつかなかったです)

$$2^s = k – 48 \\ 2^t = k + 48とする。\\ s, t は 0 以上の整数とする。\\ 当然、s < t で s + t = n \\ すると…\\ 2^s + 48 = k \\ 2^t – 48 = k \\ から\\ 2^t – 2^s = 96 \\ 96の構造を素因数分解で確かめて… \\ 2^t – 2^s = 2^5・3 \\ 変数が s と t の2つあって、等式(方程式)が1つしかないので、\\ なんらかの構造(因数分解)的な性質を使うほかないと… \\ 2^s(2^{t-s} – 1) = 2^5・3 \\ ここで、2^{t-s}-1 は奇数なので… \\ 2^{t-s} – 1 = 3 \\ すると、2^s = 2^5 つまり、s = 5 そして t = 7 \\ よって n = s + t = 12\\ $$

x^4 + 10x^3 + 25x^2 – 36を因数分解せよ

数学を数楽にチャンネルの動画です

$$x^4 + 10x^3 + 25x^2 – 36$$

を因数分解せよ。


因数分解になれてくると、上記の数式をひとめ見れば次のように見えるようになります。

$$x^4 + (2 × 5)x^3 + 5^{2}x^2 – 6^2$$

そして…

$$x^2{x^2 + (2 × 5)x + 5^2} – 6^2$$

とすすんでいくと。

伝説のスナイパーであるシモ・ヘイヘさんも狙撃の秘訣を尋ねられて、「練習だ」といったらしいですが、まさに練習あるのみ…

カージオイドが二回転しているように見える問題

カージオイド: cardioid)は、極座標の方程式 r = a(1 + cosθ))によって表される曲線である。心臓形(しんぞうけい)とも呼ばれる。心臓に似た形のためこの名称が付いた(ギリシア語: καρδιοειδής, kardioeides) =「καρδιά (kardia, 心臓)」 + 「είδος (eidos, 形)」)。

Wikipedia カージオイド

カージオイド

カージオイドって高校数学Ⅲで習うらしいですが、恥ずかしながら、わたしは初めて知りました。

で、外側を回っている円ですが、なんとなく中心の円を一周するあいだに2回転して見えるなと。(実際そう断言しているYoutube数学クイズ動画を見て、なんかヘンだなと思って調べました)

実際は、上記画像(Wikipediaからパクりました)でも明らかなように、外側の円の円周の一点の軌跡を表す赤い線(カージオイド)が中心の円に接するのは一度です。つまり一回転しているだけと。

二重根号はずし

$$\sqrt{6 + \sqrt{35}}$$

√35 のところが、2√35 だとテクニックが使えるかな…ということで…

$$\begin{eqnarray} \sqrt{6 + \sqrt{35}} &=& \frac{\sqrt{2} \sqrt{6 + \sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{12 + 2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{(\sqrt{5} +\sqrt{7})^2}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{7})}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{10} + \sqrt{14}}{2} \end{eqnarray}$$