数学を数楽にチャンネルよりこの問題を見たとき、正直いって「アレ？…、極座標とか使うのかな…？」とかビビッて正常な判断ができませんでした。
結論から言うと、上記動画で川端先生が解説しているように、中学レベルの知識で十分解けます(扇形の面積を求めることに帰着する)。
ある年老いた偉い学者の先生が、「俺の人生なんて、実力一割、ハッタリ九割だよ、XX君」みたいなことを弟子に述懐していたらしいですけど、人間ならではのこの手の心理作用は面白いですね。
ビビると戦力ダウンする
数学を数楽にチャンネルより 数学を数楽にチャンネルより数学スポーツ(mathスポーツ)のススメ
ビデオゲームをeスポーツとしてオリンピックに加えようじゃないかみたいな動きもあるようですけど、それなら数学の問題を頭脳のスポーツ感覚で解くのもいいのではないかというのがこのエントリの趣旨です。
中学数学は高校・大学以上の数学に比べて前提となる知識がかなり限られているので、Youtubeのトップページにオススメとして表示される受験問題をパパッと頭の中で解くと、ほんとうにちょっとしたスポーツ気分を味わえます。
9 × 10 × 11 × 12 + 1 = x^2 のとき x = ?
数学を数楽にチャンネルよりまず、力づくの解き方としては左辺をゴリゴリ計算してそれの平方根を考えるってヤツでしょうけど、ちょっと楽したいなと…
で、わたしの個人的なインスピレーションとして頭にスグに浮かんだ式変形は…
$$\begin{eqnarray} 左辺 &=& 9 × 10 × 11 × 12 + 1\\ &=& (9 × 11) × (10 × 12) + 1\\ &=& (10 – 1)(10 + 1) × (11 – 1)(11 + 1) + 1\\ \end{eqnarray}$$です。ただし、この時点で何がどう解決に結びつくのかはわかっていないです。そして、左辺の + 1 がなんかじゃまだなと思っています。
(よく等式をながめて)ピカ～ン！
$$\begin{eqnarray} 9 × 10 × 11 × 12 + 1 &=& x^2\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& x^2 – 1\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& (x – 1)(x + 1)\\ \end{eqnarray}$$これで 掛け算の式＝掛け算の式 という必勝パターンに持ち込むことに成功しました
$$\begin{eqnarray} 9 × 10 × 11 × 12 + 1 &=& x^2\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& x^2 – 1\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& (x – 1)(x + 1)\\ (9 × 11) × (10 × 12) &=& (x – 1)(x + 1)\\ (10 – 1)(10 + 1) × (11 – 1)(11 + 1) &=& (x – 1)(x + 1)\\ (10 – 1)(11 + 1) × (10 + 1)(11 – 1) &=& (x – 1)(x + 1)\\ (9 × 12) × (11 × 10) &=& (x – 1)(x + 1)\\ 108 × 110 &=& (x – 1)(x + 1)\\ (109 – 1)(109 + 1) &=& (x – 1)(x + 1)\\ \end{eqnarray}$$という思考の流れで答えにたどりついたわけですが、
実際の答案としては、
$$\begin{eqnarray} 9 × 10 × 11 × 12 + 1 &=& x^2\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& x^2 – 1\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& (x – 1)(x + 1)\\ (9 × 12) × (11 × 10) &=& (x – 1)(x + 1)\\ 108 × 110 &=& (x – 1)(x + 1)\\ (109 – 1)(109 + 1) &=& (x – 1)(x + 1)\\ よって x &=& 109 である。 \end{eqnarray}$$かなと
x^5 + x^4 + 1 を因数分解せよ
まず最初に、これはこの式を見たときの私の個人的なインスピレーションだったので、どうしてそう思ったかは言語化が難しいですが…
コレ、
$$ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) $$とか
$$ x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$$という公式を使えるような気がすると感じました。
でも、x^5 + x^4 + 1 にx^3の項がナイので、そういうときは定石的に、同じものを足して引くという技をつかいます…
$$\begin{eqnarray} x^5 + x^4 + 1 &=& x^5 + x^4 + x^3 – x^3 + 1 \\ &=& x^3(x^2 + x + 1) – (x^3 – 1) \\ &=& x^3(x^2 + x + 1) – (x – 1)(x^2 + x + 1) \\ &=& (x^2 + x + 1)(x^3 – x + 1) \\ \end{eqnarray}$$二次方程式の解の公式②
a≠0, b≠0, c≠0 とする…
a(x – α)(x – β) = ax^2 + bx + c = 0
として解と係数の関係を考えると、なるほどとなりますね。
高校入試：円がでてきたら、二等辺三角形が現れやすい
図形の問題に、円がでてきたときは、半径が２つあるだけでそれを二等辺三角形として見ることができるので、結果としてどこかに二等辺三角形がないかと意識して図形(円)を見ると解法へとつながることが多いです。
円：中心角は円周角の2倍 ⇒ どの円周角も同じ大きさ
図で示せばわかりやすいのですが、手元に手軽なツールがないので…
ある円の円周上にある弧を定めます。その弧が作る円周角は頂点を円周上のどこにでもとることができるので(弧の上は除外するとします)、頂点の異なる円周角をいくつでも想定することができます。このとき、このひとつの弧がつくる、いろいろな円周角同士の大きさはどうなるか…。
ここで円周角からいったん離れ、円周上のある弧が作る中心角を考えます。中心角を考えるとき、その頂点はつねに円の中心なので、ある弧がつくる中心角はつねにひとつだけで、その角の大きさもつねにひとつです。
次に、円周上のある弧が作る円周角と中心角の大きさの関係を考えます。結論から言うと、中心角は円周角の２倍であることを数学的に証明できます。この証明はたぶん中学数学の教科書に書いてあります。
以上の説明により、どの円周角の２倍もあるひとつの中心角と等しくなるということは、当然、すべての円周角の大きさは同じということになります。
仏教・ヨガの哲理は最終的に数学を使って表現されるはず
Masaki Koga [数学解説] さんの動画です自分でもわかって言っている自信は正直ないですが(笑)。そうなる気がする、もしくは、そうなるべき。なぜなら、誤解が多すぎるからという感じです。
ヨガ・仏教の経典などで述べられている人格や心境はある信念体系にのっとったモノで、数学的に厳密に捕まえることができる気がします(もしくは”無記”の部分が明確にできるはず)。
ここらへん、”ブッダ”としてのリファレンス人格である釈尊が過去のヒトなので、ヨガ界隈で聖人とされているひとを実験対象にせざるを得ないのかなと思っています。(物質化とか手品じみたことやってないで、すこしは協力してくださいよという…)
掛け算九九の９の段のナゾ
Youtube動画で鑑賞したのですが、元ネタの動画を見失ってしまいました。
9 × 1 = 9
9 × 2 = 18 (1 + 8 = 9)
9 × 3 = 27 (2 + 7 = 9)
9 × 4 = 36 (3 + 6 = 9)
9 × 5 = 45 (4 + 5 = 9)
9 × 6 = 54 (5 + 4 = 9)
9 × 7 = 63 (6 + 3 = 9)
9 × 8 = 72 (7 + 2 = 9)
9 × 9 = 81 (8 + 1 = 9)
9 × 10 = 90 (9 + 0 = 9)
と、掛け算の九九で９の段の答えの各ケタの数を足すと９になるというものです。
で、面白いと思って考えてみると…
9 × 2 = 9 + 9 = (9 + 1) + 8
9 × 3 = 9 + 9 + 9 = (9 + 1) + (9 + 1) + 7
9 × 4 = 9 + 9 + 9 + 9 = (9 + 1) + (9 + 1) + (9 + 1) + 6
というカラクリだったという…
√(2^8 + 2^11 + 2^n)が整数となる自然数 n をもとめよ
$$\sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n}$$
が整数となる自然数 n を求めよ。
わたしが真っ先に頭に浮かんだのは…
$$\begin{eqnarray} \sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} &=& \sqrt{2^8(1 + 2^3 + 2^{n-8})} \\ &=& 2^4\sqrt{1 + 2^3 + 2^{n-8}} \\ &=& 16\sqrt{9 + 2^{n-8}} \\ \end{eqnarray}$$です。で、9 + 2^(n-8) = 25 だったらつごうがいいな…おっと、n = 12 でうまくいきそう…とあたりをつけておいて…
$$\sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} = k とする。(kは正の整数) \\ 2^8 + 2^{11} + 2^n = k^2 \\ 2^n = k^2 – 2^8 – 2^{11} \\ 2^n = k^2 – 2^8(1 + 2^3) \\ 2^n = k^2 – 16^2・3^2 \\ 2^n = (k – 48)(k + 48) \\ $$
ふぅ～…と 2^n の因数分解的な意味での”構造”がすこし見えてきました。
野生の勘ですが、2^n で n が2の累乗の指数の位置にあるので、右辺もそんな感じで考えてみると…(初見ではコレを思いつかなかったです)
$$2^s = k – 48 \\ 2^t = k + 48とする。\\ s, t は 0 以上の整数とする。\\ 当然、s < t で s + t = n \\ すると…\\ 2^s + 48 = k \\ 2^t – 48 = k \\ から\\ 2^t – 2^s = 96 \\ 96の構造を素因数分解で確かめて… \\ 2^t – 2^s = 2^5・3 \\ 変数が s と t の２つあって、等式(方程式)が1つしかないので、\\ なんらかの構造(因数分解)的な性質を使うほかないと… \\ 2^s(2^{t-s} – 1) = 2^5・3 \\ ここで、2^{t-s}-1 は奇数なので… \\ 2^{t-s} – 1 = 3 \\ すると、2^s = 2^5 つまり、s = 5 そして t = 7 \\ よって n = s + t = 12\\ $$