カテゴリー: 数学

Netflixのドキュメンタリー「宇宙に隠された暗号」で出てきたセリフです。

わたしはたぶん数に対するイメージみたいなのが極端に乏しいタイプの人間だと思います。何を手がかりにそんな確信をするのかさっぱり分からないです。

陰謀論とか都市伝説系の話題では、世界支配層はとてもカバラ数秘術が好きらしいということになっています。そして、６６６という数字を自分たちが支配している民衆に繰り返し見せるのが好きってことになっています。これもなんでそんなことするのか意図みたいなのがまったくわかりません。

聞いた話ではあのピタゴラスも個々の数に意味を見出していたらしいですね。まぁ、わたしにはそのセンスが欠けているという意味で縁がない世界なのかなと思っています。

いま高校数学Ⅲをまた復習してますけど、数学を趣味とするモノとしていつか圏論をざっくりとでいいので理解したいです

— 峯島雄治　Minejima Yuji (@yuji_minejima) August 13, 2020

というわけで複素数を復習してます…

中学校で習う実数は数直線上の一点として図形的にイメージできます。

高校で習う複素数は複素数平面上の一点として図形的にイメージできます。

アマチュアのサル知恵で、じゃ、複素数の次の数の概念は、空間上の一点になるのかななんていま妄想しました。

数の概念の拡張にもとなう物理学の発展

正の整数 a, b があって、a を bで割ったときの商 q と余り r の関係を式にすると次のようになります。

ここで、a と b の最大公約数を m とします。そして式①を変形して、

この式の右辺の第一項には a、第二項には b が因数として含まれているため、右辺全体として a と b の最大公約数 m の倍数になっています。つまり、a と b の最大公約数 m は r の約数でもあるわけです。式にしてみると次のような感じでしょうか。

次に、b と r の最大公約数を n とします。そして、上記の議論から a と b の最大公約数 m も b と r の公約数であることが分かっているので、公約数としては n は最大公約数なので、次のように言えます。

ここで、 b と r の最大公約数 n を意識しながら式①を見てみると、右辺は 第一項に b、第二項に r を因数として含むため、右辺全体として n の倍数になっていることがわかります。これをあえて式にしてみると次のようになります。

つまり、b と r の最大公約数 n は、a と b の公約数でもあるとわかりました。a と b の公約数としては、m が最大公約数なので、次の関係が成り立ちます。

そして、式③と式④からじつは、

となります。

まとめると、正の整数 a, b の割り算の式①の関係が成り立っているとき、a と b の最大公約数 m と b と r の最大公約数 n は等しいといえます。

と勝手に個人的な印象で生徒に教えていたのですが、いま考えてみてもそれほど的外れではないような気がしています。

という呼びかけです。

ガチャの当たり確率が0.3%であるとき、１００回引いたときに全部ハズレる確率とか計算できていないで数万円とかブッコんでいるって話をわりとよく聞くのでこんなこと言い出しました。

ちなみにこういう確率計算は高校数学Aで勉強します。

当たりの確率が0.3%のガチャを１００回引いて全部ハズレる確率は、確率99.7%のハズレが１００回続く確率ですので、0.997の100乗、

0.997^100 = 0.997 * 0.997 * 0.997 * 0.997 ….= 0.74048… ≒ 0.74

つまり、74％の確率で全部外れますね。

IQが110ほどのひとでも、
「Xさん、クジなんてねぇ、当たるか当たらないか、つまり最終的には５０％の確率なんですよ」
「そういわれれば、そうですね…」
こんなありさまです

— 峯島雄治　Minejima Yuji (@yuji_minejima) June 2, 2020

すべてのクジは当たるか外れるかの1/2の確率

確率1/10の外れを引くと怒り出す人

を分数の掛け算に変形できることを示そうという数学勉強ノートです。

割り算の定義を以下のようにするとします。(フィーリングなんで数学的厳密さは求めません)

という実数a, b, cの間に掛け算の関係があるとき、

となるような演算(割り算)÷が存在するとする。また②が成立するときは①も成立するとする。

このとき次のような等式を考えてみると、

これは式①のような２つの数の掛け算の形の等式なので、式②に相当する÷を使った等式を考えると、

が成り立つ。これで分数の割り算である左辺を分数の掛け算である右辺で表すことができた。

高校数学の美しい物語さんが書かれた上記の本をさっそく買って読んでこんなメモを書いてみました。

数研出版 数学Ⅰ(118ページ)より引用

変化する量の間の関係を「関数」としてとらえる考え方は、自然科学、社会科学の中でもさまざまな形で用いられている。一例として、学校の売店で売られているパンの価格を考察してみよう。

簡単のため、パンは１種類のみであると仮定し、

• １個の販売価格をx円
• １個あたりの原価を７０円
• １日あたりに売り上げる個数をy個
• １日あたりに得られる利潤をz円

とする。このとき、１個販売するごとの利益はx-70円である。一方、１日に売り上げる個数は、パンの価格が高くなると少なくなると考えられるので、yはxが増加すると減少する。そのようなxの関数yの例として、ここではyが

という１次関数で表されると仮定しよう。このとき、利潤zは

$$z=(x-70)y=(x-70)(170-x)=-x^2+240x-11900$$

となり、価格xの２次関数となる。この式を平方完成すると、

$$z=-(x-120)^2+2500$$

という形が得られるので、１個１２０円で売るときに最大の利潤２５００円が得られることがわかる。

ここで考えているのは売り手が１つしかない状況であり、店舗の間の競争などの影響を考えていない。現実の出来事をより正確に理解するためには、より複雑な考え方が必要となるが、その場合でも数学的な手法はなくてはならないものとなっている。経済学においても、いろいろな場面で数学が活躍するのである。

数学勉強ノートです

集合とは

まず２つの集合、集合Pと集合Qがあるとします。

この２つの集合をつかってさらに新しい集合をひねくりだすとして…

集合Pと集合Qの要素からなる集合Aというものを考えることができます。

A=P∪Q

と記号では書いて、

集合Aは集合Pと集合Qの和集合である

と言います。

集合Pの要素でありかつ集合Qの要素でもあるモノを要素とする集合Bというものを考えることができます。

B=P∩Q

と記号では書いて、

集合Bは集合Pと集合Qの共通部分である

と言います。

２０２０年３月８日追記　”なんで積集合といわずに共通部分と呼ぶのかな？”と思っていたのですがWikipedia先生によると…

数学において、集合族の共通部分（きょうつうぶぶん、英: intersection）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。共通集合（きょうつうしゅうごう）、交叉（こうさ、交差）、交わり（まじわり、meet）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）^[1]、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。

Wikipedia 共通部分(数学)

なるほど…

というのが問題に出てきてすこし考えてしまいました。勉強ノートです。

　　　　　　a    
　　　　有　　　無
　有　　　　　　〇
b　　
　無　　〇　　　〇　

aとbが有理数(有と表記)、無理数(無と表記)と２つの場合を取りえるので、組み合わせ(a, b)すべての場合の数は２×２＝４です。

この４つの場合のうち、”a, bの少なくとも一方は無理数”というのは上記の表のように、(a、b) = (無、有)、(無、無)、(有、無)の３つの場合です。

そして、それの否定は、とうぜん(有、有)つまり、”a、bがともに有理数”という条件になります。

おもしろ～ぃ(笑)

そういえば中学の確率の問題で、袋から赤か白の玉を１つづつ取り出すって試行を何度かやる場合、”すくなくとも１回は赤が出る確率を求めよ”という問題を解くときの定石は、

少なくとも１つ赤がでる確率 = １ – 全部白がでる確率

という感じでした。

勉強ノートです…(参考文献 数研出版 数学Ⅰ)

数学において集合とは、範囲がはっきりしたものの集まりをいう。

例えば、範囲がはっきりしないものの集まりとは「大きい数の集まり」などである。”大きい数”という言葉があいまいなので数学的な集合とは言えない。

それに対して、範囲がはっきりしているものの集まりとは「１から１０までの自然数の集まり」などである。

また、集合を構成している１つ１つのものを、その集合の要素という。

(範囲がはっきりしてさえいれば、要素は有限個でも無限個でも数学的に集合とみなすことができる。)

「１から１０までの自然数の集まり」を集合Pとするとき、例えば3は集合Pの要素である。

これを記号で、

3∈P

と表記する。

また１００は集合Pの要素ではない。これを記号で、

100 ∉ P

と表記する。

集合の表し方(その１) {}の中に要素を全部列挙

１から１０までの自然数の集合P

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

100以下の正の偶数全体の集合B

B = {2, 4, 6, ……, 100}

上記集合Bの例のように、要素の個数が多かったり、無限に続くことを表すのに省略記号”……”を用いて表すことがある。

集合の表し方(その２) 説明的な書き方 {要素の一般形|条件などの説明}

1より大きく３より小さい実数全体の集合D

D = {x | 1 < x < 3, xは実数}

正の偶数全体の集合E

E = {2n | n = 1, 2, 3, ……}

有限個の要素からなる集合を有限集合といい、無限に多くの要素からなる集合を無限集合という。

大学の入試問題をちょっと解いていて、a, bに整数が入るとして、

$$a^2 + ab + b^2$$

のとりえる値の範囲、もっと言えば負の値になることがあるか分かれば便利という場面になりました。(なんとなく、負の値にはならないようなフワっとした印象はあります…)

ただそのままでは$$a^2 + b^2$$の部分は正になるとわかりますが、abは負になることもありそうなので、全体として正とか負とか言い切るのは難しそうです。ということで、式変形してなにか手掛かりをつかみたいところです。

最初に、平方完成で、

$$a^2 + ab + b^2 = (a – b)^2 + 3ab$$

としてみたんですが、依然として3abが負になることもあるしということで進展していない感じ…

で、

$$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$$

とすると、有理数の２乗つまり正の数(または０)をたしているだけなので、式全体として非負数になることがしめせました。ここらへんがスラスラと出てこないと難しめの大学の問題は解けないんだなぁと、ちょっと、私も衰えているなぁと感慨深いです。

勉強ノートです。

単項式というと、係数つまり数×文字をいくつか掛け合わせたもの。

つまり、2abcとか3x^2すなわち 3 × x × x とかのこととフワっと理解していたんですが、x^2の指数２が負(の整数)の場合は許されているのかなという疑問がわきました。で、wikipediaで調べたところフツウの感じでは指数が負の場合は考えないのかなという感じです。

単項式とは、変数の冪積（べきせき、power product）^{[注釈 1]}と係数と呼ばれる定数との積として書ける多項式の一種を言う。任意の変数 x に対する x⁰ に関して空積の規約のもと 1 (=x⁰) と見なされるから、定数も定数項のみからなる単項式と考えるのが普通である。

変数を x, y, z とし、係数を複素数にとれば

−7x⁵ や (3 − 4i)x⁴yz¹³

などを単項式の例に挙げることができる。多項式における変数の冪指数は非負整数に限られるから、ここでの冪積に現れる冪指数もそのようなものに限る。ただし、 …

Wikipedia 単項式

Wikipediaの英語版でもフツウは指数部分は非負数としていました。

10年間ずっと女の子だけが生まれるポーランドの村の真実とは？

Gigazine

数学的に言い方を変えて、

「 世界のどこかの村で最後に生まれた12人の子どもがみんな同性である確率 」

とすると、たしかに”ありえるな”となりますね。統計学はもうちょっと勉強したいと思っています。