Category: 数学

まず最初に、これはこの式を見たときの私の個人的なインスピレーションだったので、どうしてそう思ったかは言語化が難しいですが…

コレ、

$$ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) $$

とか

$$ x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$$

という公式を使えるような気がすると感じました。

でも、x^5 + x^4 + 1 にx^3の項がナイので、そういうときは定石的に、同じものを足して引くという技をつかいます…

$$\begin{eqnarray} x^5 + x^4 + 1 &=& x^5 + x^4 + x^3 – x^3 + 1 \\ &=& x^3(x^2 + x + 1) – (x^3 – 1) \\ &=& x^3(x^2 + x + 1) – (x – 1)(x^2 + x + 1) \\ &=& (x^2 + x + 1)(x^3 – x + 1) \\ \end{eqnarray}$$

a≠0, b≠0, c≠0 とする…

2次方程式の解の公式を導きました！ pic.twitter.com/nrGrYCTiXx

— ポテト一郎🥔 (@potetoichiro) July 8, 2021

a(x – α)(x – β) = ax^2 + bx + c = 0

として解と係数の関係を考えると、なるほどとなりますね。

図形の問題に、円がでてきたときは、半径が２つあるだけでそれを二等辺三角形として見ることができるので、結果としてどこかに二等辺三角形がないかと意識して図形(円)を見ると解法へとつながることが多いです。

中学数学で二等辺三角形がでてきたら…

図で示せばわかりやすいのですが、手元に手軽なツールがないので…

ある円の円周上にある弧を定めます。その弧が作る円周角は頂点を円周上のどこにでもとることができるので(弧の上は除外するとします)、頂点の異なる円周角をいくつでも想定することができます。このとき、このひとつの弧がつくる、いろいろな円周角同士の大きさはどうなるか…。

ここで円周角からいったん離れ、円周上のある弧が作る中心角を考えます。中心角を考えるとき、その頂点はつねに円の中心なので、ある弧がつくる中心角はつねにひとつだけで、その角の大きさもつねにひとつです。

次に、円周上のある弧が作る円周角と中心角の大きさの関係を考えます。結論から言うと、中心角は円周角の２倍であることを数学的に証明できます。この証明はたぶん中学数学の教科書に書いてあります。

以上の説明により、どの円周角の２倍もあるひとつの中心角と等しくなるということは、当然、すべての円周角の大きさは同じということになります。

Youtube動画で鑑賞したのですが、元ネタの動画を見失ってしまいました。

9 × 1 = 9

9 × 2 = 18 (1 + 8 = 9)

9 × 3 = 27 (2 + 7 = 9)

9 × 4 = 36 (3 + 6 = 9)

9 × 5 = 45 (4 + 5 = 9)

9 × 6 = 54 (5 + 4 = 9)

9 × 7 = 63 (6 + 3 = 9)

9 × 8 = 72 (7 + 2 = 9)

9 × 9 = 81 (8 + 1 = 9)

9 × 10 = 90 (9 + 0 = 9)

と、掛け算の九九で９の段の答えの各ケタの数を足すと９になるというものです。

で、面白いと思って考えてみると…

9 × 2 = 9 + 9 = (9 + 1) + 8

9 × 3 = 9 + 9 + 9 = (9 + 1) + (9 + 1) + 7

9 × 4 = 9 + 9 + 9 + 9 = (9 + 1) + (9 + 1) + (9 + 1) + 6

というカラクリだったという…

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$$\sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n}$$

が整数となる自然数 n を求めよ。

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わたしが真っ先に頭に浮かんだのは…

$$\begin{eqnarray} \sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} &=& \sqrt{2^8(1 + 2^3 + 2^{n-8})} \\ &=& 2^4\sqrt{1 + 2^3 + 2^{n-8}} \\ &=& 16\sqrt{9 + 2^{n-8}} \\ \end{eqnarray}$$

です。で、9 + 2^(n-8) = 25 だったらつごうがいいな…おっと、n = 12 でうまくいきそう…とあたりをつけておいて…

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$$\sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} = k とする。(kは正の整数) \\ 2^8 + 2^{11} + 2^n = k^2 \\ 2^n = k^2 – 2^8 – 2^{11} \\ 2^n = k^2 – 2^8(1 + 2^3) \\ 2^n = k^2 – 16^2・3^2 \\ 2^n = (k – 48)(k + 48) \\ $$

ふぅ～…と 2^n の因数分解的な意味での”構造”がすこし見えてきました。

野生の勘ですが、2^n で n が2の累乗の指数の位置にあるので、右辺もそんな感じで考えてみると…(初見ではコレを思いつかなかったです)

$$2^s = k – 48 \\ 2^t = k + 48とする。\\ s, t は 0 以上の整数とする。\\ 当然、s < t で s + t = n \\ すると…\\ 2^s + 48 = k \\ 2^t – 48 = k \\ から\\ 2^t – 2^s = 96 \\ 96の構造を素因数分解で確かめて… \\ 2^t – 2^s = 2^5・3 \\ 変数が s と t の２つあって、等式(方程式)が1つしかないので、\\ なんらかの構造(因数分解)的な性質を使うほかないと… \\ 2^s(2^{t-s} – 1) = 2^5・3 \\ ここで、2^{t-s}-1 は奇数なので… \\ 2^{t-s} – 1 = 3 \\ すると、2^s = 2^5 つまり、s = 5 そして t = 7 \\ よって n = s + t = 12\\ $$

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$$x^4 + 10x^3 + 25x^2 – 36$$

を因数分解せよ。

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因数分解になれてくると、上記の数式をひとめ見れば次のように見えるようになります。

$$x^4 + (2 × 5)x^3 + 5^{2}x^2 – 6^2$$

そして…

$$x^2｛x^2 + (2 × 5)x + 5^2｝ – 6^2$$

とすすんでいくと。

伝説のスナイパーであるシモ・ヘイヘさんも狙撃の秘訣を尋ねられて、「練習だ」といったらしいですが、まさに練習あるのみ…

カージオイド（英: cardioid）は、極座標の方程式 r = a(1 + cosθ))によって表される曲線である。心臓形（しんぞうけい）とも呼ばれる。心臓に似た形のためこの名称が付いた（ギリシア語: καρδιοειδής, kardioeides) =「καρδιά (kardia, 心臓）」 + 「είδος (eidos, 形）」）。

Wikipedia カージオイド

カージオイドって高校数学Ⅲで習うらしいですが、恥ずかしながら、わたしは初めて知りました。

で、外側を回っている円ですが、なんとなく中心の円を一周するあいだに２回転して見えるなと。(実際そう断言しているYoutube数学クイズ動画を見て、なんかヘンだなと思って調べました)

実際は、上記画像(Wikipediaからパクりました)でも明らかなように、外側の円の円周の一点の軌跡を表す赤い線(カージオイド)が中心の円に接するのは一度です。つまり一回転しているだけと。

$$\sqrt{6 + \sqrt{35}}$$

√35 のところが、2√35 だとテクニックが使えるかな…ということで…

$$\begin{eqnarray} \sqrt{6 + \sqrt{35}} &=& \frac{\sqrt{2} \sqrt{6 + \sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{12 + 2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{(\sqrt{5} +\sqrt{7})^2}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{7})}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{10} + \sqrt{14}}{2} \end{eqnarray}$$