9 × 10 × 11 × 12 + 1 = x^2 のとき x = ?

数学を数楽にチャンネルより
$$ 9 × 10 × 11 × 12 + 1 = x^2 $$

まず、力づくの解き方としては左辺をゴリゴリ計算してそれの平方根を考えるってヤツでしょうけど、ちょっと楽したいなと…

で、わたしの個人的なインスピレーションとして頭にスグに浮かんだ式変形は…

$$\begin{eqnarray} 左辺 &=& 9 × 10 × 11 × 12 + 1\\ &=& (9 × 11) × (10 × 12) + 1\\ &=& (10 – 1)(10 + 1) × (11 – 1)(11 + 1) + 1\\ \end{eqnarray}$$

です。ただし、この時点で何がどう解決に結びつくのかはわかっていないです。そして、左辺の + 1 がなんかじゃまだなと思っています。

(よく等式をながめて)ピカ~ン!

$$\begin{eqnarray} 9 × 10 × 11 × 12 + 1 &=& x^2\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& x^2 – 1\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& (x – 1)(x + 1)\\ \end{eqnarray}$$

これで 掛け算の式=掛け算の式 という必勝パターンに持ち込むことに成功しました

$$\begin{eqnarray} 9 × 10 × 11 × 12 + 1 &=& x^2\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& x^2 – 1\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& (x – 1)(x + 1)\\ (9 × 11) × (10 × 12) &=& (x – 1)(x + 1)\\ (10 – 1)(10 + 1) × (11 – 1)(11 + 1) &=& (x – 1)(x + 1)\\ (10 – 1)(11 + 1) × (10 + 1)(11 – 1) &=& (x – 1)(x + 1)\\ (9 × 12) × (11 × 10) &=& (x – 1)(x + 1)\\ 108 × 110 &=& (x – 1)(x + 1)\\ (109 – 1)(109 + 1) &=& (x – 1)(x + 1)\\ \end{eqnarray}$$

という思考の流れで答えにたどりついたわけですが、

実際の答案としては、

$$\begin{eqnarray} 9 × 10 × 11 × 12 + 1 &=& x^2\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& x^2 – 1\\ 9 × 10 × 11 × 12 &=& (x – 1)(x + 1)\\ (9 × 12) × (11 × 10) &=& (x – 1)(x + 1)\\ 108 × 110 &=& (x – 1)(x + 1)\\ (109 – 1)(109 + 1) &=& (x – 1)(x + 1)\\ よって x &=& 109 である。 \end{eqnarray}$$

かなと

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