x^5 + x^4 + 1 を因数分解せよ

数学を数楽にチャンネルからの動画

まず最初に、これはこの式を見たときの私の個人的なインスピレーションだったので、どうしてそう思ったかは言語化が難しいですが…

コレ、

$$ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) $$

とか

$$ x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$$

という公式を使えるような気がすると感じました。

でも、x^5 + x^4 + 1 にx^3の項がナイので、そういうときは定石的に、同じものを足して引くという技をつかいます…

$$\begin{eqnarray} x^5 + x^4 + 1 &=& x^5 + x^4 + x^3 – x^3 + 1 \\ &=& x^3(x^2 + x + 1) – (x^3 – 1) \\ &=& x^3(x^2 + x + 1) – (x – 1)(x^2 + x + 1) \\ &=& (x^2 + x + 1)(x^3 – x + 1) \\ \end{eqnarray}$$

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