円:中心角は円周角の2倍 ⇒ どの円周角も同じ大きさ

図で示せばわかりやすいのですが、手元に手軽なツールがないので…

ある円の円周上にある弧を定めます。その弧が作る円周角は頂点を円周上のどこにでもとることができるので(弧の上は除外するとします)、頂点の異なる円周角をいくつでも想定することができます。このとき、このひとつの弧がつくる、いろいろな円周角同士の大きさはどうなるか…。

ここで円周角からいったん離れ、円周上のある弧が作る中心角を考えます。中心角を考えるとき、その頂点はつねに円の中心なので、ある弧がつくる中心角はつねにひとつだけで、その角の大きさもつねにひとつです。

次に、円周上のある弧が作る円周角と中心角の大きさの関係を考えます。結論から言うと、中心角は円周角の2倍であることを数学的に証明できます。この証明はたぶん中学数学の教科書に書いてあります。

以上の説明により、どの円周角の2倍もあるひとつの中心角と等しくなるということは、当然、すべての円周角の大きさは同じということになります。

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