√(2^8 + 2^11 + 2^n)が整数となる自然数 n をもとめよ

PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafeさんの動画です

$$\sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n}$$

が整数となる自然数 n を求めよ。


わたしが真っ先に頭に浮かんだのは…

$$\begin{eqnarray} \sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} &=& \sqrt{2^8(1 + 2^3 + 2^{n-8})} \\ &=& 2^4\sqrt{1 + 2^3 + 2^{n-8}} \\ &=& 16\sqrt{9 + 2^{n-8}} \\ \end{eqnarray}$$

です。で、9 + 2^(n-8) = 25 だったらつごうがいいな…おっと、n = 12 でうまくいきそう…とあたりをつけておいて…


$$\sqrt{2^8 + 2^{11} + 2^n} = k とする。(kは正の整数) \\ 2^8 + 2^{11} + 2^n = k^2 \\ 2^n = k^2 – 2^8 – 2^{11} \\ 2^n = k^2 – 2^8(1 + 2^3) \\ 2^n = k^2 – 16^2・3^2 \\ 2^n = (k – 48)(k + 48) \\ $$

ふぅ~…と 2^n の因数分解的な意味での”構造”がすこし見えてきました。

野生の勘ですが、2^n で n が2の累乗の指数の位置にあるので、右辺もそんな感じで考えてみると…(初見ではコレを思いつかなかったです)

$$2^s = k – 48 \\ 2^t = k + 48とする。\\ s, t は 0 以上の整数とする。\\ 当然、s < t で s + t = n \\ すると…\\ 2^s + 48 = k \\ 2^t – 48 = k \\ から\\ 2^t – 2^s = 96 \\ 96の構造を素因数分解で確かめて… \\ 2^t – 2^s = 2^5・3 \\ 変数が s と t の2つあって、等式(方程式)が1つしかないので、\\ なんらかの構造(因数分解)的な性質を使うほかないと… \\ 2^s(2^{t-s} – 1) = 2^5・3 \\ ここで、2^{t-s}-1 は奇数なので… \\ 2^{t-s} – 1 = 3 \\ すると、2^s = 2^5 つまり、s = 5 そして t = 7 \\ よって n = s + t = 12\\ $$

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