90%が間違えた数学クイズ【正答率1桁】

PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafeチャンネルさんの動画です

いや~、解けませんでしたw

誤答にさえたどりつかなかったという(笑)

まず問題文を書きますと…


x, y は自然数とする。次の不等式を満たす最も小さい分母 x を求めよ。

$$\frac{12}{11} < \frac{y}{x} < \frac{11}{10}$$

初見では、なんとなく通分して…

$$\frac{120}{110} < \frac{y}{x} < \frac{121}{110}$$

で止まって力尽きました。


そこでPASSLABOさんの解答動画を見させていただいたうえで…

不等式を2つに分割します。

$$\frac{12}{11} < \frac{y}{x}・・・①$$ $$\frac{y}{x} < \frac{11}{10}・・・②$$

不等式①を変形して…

$$\frac{y}{x} – \frac{12}{11} > 0$$

さらに通分して…

$$\frac{-12x + 11y }{11x} > 0・・・③$$

ここで分子を a と置きます。とうぜん不等式③を満たす自然数 x, y について a は自然数です。

$$a = -12x + 11y > 0 (aは自然数)・・・④$$

不等式②も同様に変形して…分子を b と置きます(bも自然数です)。

$$\frac{11x + 10y}{10x} > 0・・・⑤$$ $$b = 11x + 10y > 0 (bは自然数)・・・⑥$$

④、⑥をx, yの連立方程式として x について解くと…

$$\begin{cases} -12x + 11y = a \\ 11x + 10y = b \end{cases} \\ x = 10a + 11b・・・⑦$$

ここでチャンス到来というか、式⑦の右辺でa, bが自然数なので xが最小になるのは a = 1, b = 1のときである可能性があることがわかります。

そこで、式④、⑥に a = 1, b = 1 を代入して連立方程式として x, y を求めると…

$$\begin{cases} -12x + 11y = 1 \\ 11x – 10y = 1 \end{cases} \\ \begin{cases} -120x + 110y = 10 \\ 121x – 110y = 11 \end{cases}$$ $$x = 21, y = 23$$

となりました。

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