対数ってなんだったっけ…

[mathjax]
たしか指数関数の逆っぽいやつだったような…

すっごく分かりやすい数字を材料にしていろいろ実験してみるか…

$$10^2=100$$

ってのがあったとして、2乗のこの2がメインになった感じで、

$$2 = \log_{10} 100$$

とかいうちょっとした記述法か…。つまり、

$$\log_{10} 100$$
これはである10を何乗すれば結果として100になるかというその何乗という数の表現方法ですね。

じゃぁ

$$10^3=1000$$

から、

$$3 = \log_{10}1000$$

となるのか…。

じゃぁ、書き方を変えて、
$$10^2 = 10^{\log_{10}100} = 100$$

$$10^3 = 10^{\log_{10}1000} = 1000$$

ということも成り立つな…。

昔の感じがつかめてきたところで、文字で考え始めて…
$$10^{\log_{10} m} = m$$

$$10^{\log_{10} n} = n$$

これをもとに、掛け算をしてみて、
$$10^{\log_{10} m} × 10^{\log_{10} n} = 10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$

(ここでは、

$$10^a × 10^b = 10^{a + b}$$

という知識を使っています。)

というわけで、次のようなことがわかりました。

$$10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$
これをもとに、logの定義から考えて…

$${\log_{10} m} + {\log_{10} n} = \log_{10} mn$$

なるほど!

じゃ、こんどは…

$$\frac{10^{\log_{10} m}}{10^{\log_{10} n}} = 10^{{\log_{10} m} – {\log_{10} n}} = \frac{m}{n}$$

(
$$\frac{1}{a^3} = a^{-3}$$
)
なので、

$${\log_{10} m} – {\log_{10} n} = \log_{10}\frac{m}{n}$$

となる!




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