[mathjax]
$$2^\frac{1}{2}$$
これってなんだろう…ととっさに考えてしまいますよね。
高校あたりで、累乗(るいじょう)の指数(しすう)が分数になった場合なんて例がでてきますね。
数学を忘れてしまっても、その痕跡は頭に残っていることが多いですよね。で、その知識をつないで理解できないでしょうか。
まず、簡単そうな例で実験をします。カギとなるのは、累乗を分かりやすい掛け算にもどして考えることですね。
$$2^3=2 × 2 × 2$$
これは何となく思い出せました。また、それをさらに２乗したりして…
$$(2^3)^2 = (2 × 2 × 2)^2 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2^{3×2} = 2^6$$
この実験から、
$$(2^m)^n = 2^{m×n}$$
こういうことが一般的に言えるのではないかと推測します。
では、
$$(2^\frac{1}{2})^2$$
はこの技をつかうとどうなるかというと…
$$(2^\frac{1}{2})^2=2^{\frac{1}{2}×2}=2^{\frac{2}{2}}=2^1=2$$
あっ！！
$$2^\frac{1}{2}$$
って２乗すると２になる数だ！ それって２の正の平方根つまり、
$$2^\frac{1}{2} = \sqrt{2}$$
ということか！
となりますね。