[mathjax]
たしか指数関数の逆っぽいやつだったような…
すっごく分かりやすい数字を材料にしていろいろ実験してみるか…
$$10^2=100$$
ってのがあったとして、２乗のこの２がメインになった感じで、
$$2 = \log_{10} 100$$
とかいうちょっとした記述法か…。つまり、
$$\log_{10} 100$$
これは底である１０を何乗すれば結果として100になるかというその何乗という数の表現方法ですね。
じゃぁ
$$10^3=1000$$
から、
$$3 = \log_{10}1000$$
となるのか…。
じゃぁ、書き方を変えて、
$$10^2 = 10^{\log_{10}100} = 100$$
$$10^3 = 10^{\log_{10}1000} = 1000$$
ということも成り立つな…。
昔の感じがつかめてきたところで、文字で考え始めて…
$$10^{\log_{10} m} = m$$
$$10^{\log_{10} n} = n$$
これをもとに、掛け算をしてみて、
$$10^{\log_{10} m} × 10^{\log_{10} n} = 10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$
(ここでは、
$$10^a × 10^b = 10^{a + b}$$
という知識を使っています。)
というわけで、次のようなことがわかりました。
$$10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$
これをもとに、logの定義から考えて…
$${\log_{10} m} + {\log_{10} n} = \log_{10} mn$$
なるほど！
じゃ、こんどは…
$$\frac{10^{\log_{10} m}}{10^{\log_{10} n}} = 10^{{\log_{10} m} – {\log_{10} n}} = \frac{m}{n}$$
(
$$\frac{1}{a^3} = a^{-3}$$
)
なので、
$${\log_{10} m} – {\log_{10} n} = \log_{10}\frac{m}{n}$$
となる！
