対数ってなんだったっけ…

[mathjax]
たしか指数関数の逆っぽいやつだったような…

すっごく分かりやすい数字を材料にしていろいろ実験してみるか…

$$10^2=100$$

ってのがあったとして、2乗のこの2がメインになった感じで、

$$2 = \log_{10} 100$$

とかいうちょっとした記述法か…。つまり、

$$\log_{10} 100$$
これはである10を何乗すれば結果として100になるかというその何乗という数の表現方法ですね。

じゃぁ

$$10^3=1000$$

から、

$$3 = \log_{10}1000$$

となるのか…。

じゃぁ、書き方を変えて、
$$10^2 = 10^{\log_{10}100} = 100$$

$$10^3 = 10^{\log_{10}1000} = 1000$$

ということも成り立つな…。

昔の感じがつかめてきたところで、文字で考え始めて…
$$10^{\log_{10} m} = m$$

$$10^{\log_{10} n} = n$$

これをもとに、掛け算をしてみて、
$$10^{\log_{10} m} × 10^{\log_{10} n} = 10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$

(ここでは、

$$10^a × 10^b = 10^{a + b}$$

という知識を使っています。)

というわけで、次のようなことがわかりました。

$$10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$
これをもとに、logの定義から考えて…

$${\log_{10} m} + {\log_{10} n} = \log_{10} mn$$

なるほど!

じゃ、こんどは…

$$\frac{10^{\log_{10} m}}{10^{\log_{10} n}} = 10^{{\log_{10} m} – {\log_{10} n}} = \frac{m}{n}$$

(
$$\frac{1}{a^3} = a^{-3}$$
)
なので、

$${\log_{10} m} – {\log_{10} n} = \log_{10}\frac{m}{n}$$

となる!




1/2乗ってなんなのか

[mathjax]

$$2^\frac{1}{2}$$

これってなんだろう…ととっさに考えてしまいますよね。

高校あたりで、累乗(るいじょう)の指数(しすう)が分数になった場合なんて例がでてきますね。

数学を忘れてしまっても、その痕跡は頭に残っていることが多いですよね。で、その知識をつないで理解できないでしょうか。

まず、簡単そうな例で実験をします。カギとなるのは、累乗を分かりやすい掛け算にもどして考えることですね。

$$2^3=2 × 2 × 2$$

これは何となく思い出せました。また、それをさらに2乗したりして…

$$(2^3)^2 = (2 × 2 × 2)^2 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2^{3×2} = 2^6$$

この実験から、

$$(2^m)^n = 2^{m×n}$$

こういうことが一般的に言えるのではないかと推測します。

では、

$$(2^\frac{1}{2})^2$$

はこの技をつかうとどうなるかというと…

$$(2^\frac{1}{2})^2=2^{\frac{1}{2}×2}=2^{\frac{2}{2}}=2^1=2$$

あっ!!

$$2^\frac{1}{2}$$

って2乗すると2になる数だ! それって2の正の平方根つまり、

$$2^\frac{1}{2} = \sqrt{2}$$

ということか!

となりますね。




0乗ってどうなるのか 2^0 = ?

[mathjax]
累乗の素朴な理解では例えば、

$$2^3 = 2 × 2 × 2$$

なんて考えられます。

$$2^0$$

これは何になるんだろうとうっかり数学からすこし遠ざかっていると思うかもしれません。

ここで、つぎのような式を頭に浮かべます。

$$2^3 * 2^2 = (2 * 2 * 2) * (2 * 2) = 2^{3+2} = 2^5$$

つまり、

$$2^m * 2^n = 2^{m+n}$$

が成りたつっぽいですね。

では、次のような式が成り立てばピシッとはまりますね。

$$2^3 * 2^0 = 2^{3+0} = 2^3$$

で、この式がなりたつには、
$$2^0 = 1$$
だといいなぁとなって、実際、任意の実数aについて、
$$a^0 = 1$$
とされています。

$$2^3 = 1 × 2 × 2 × 2$$

と覚えとくといいのかもしれません。

この理解の仕方で、0の0乗を考えてみます。0の3乗から順番に見ていきましょう。

$$0^3 = 1 × 0 × 0 × 0 = 0$$

$$0^2 = 1 × 0 × 0 = 0$$

$$0^1 = 1 × 0 = 0$$

$$0^0 = 1$$

となりますが、実際に数学では、

$$0^0 = 1$$

とすることが多いそうです。




なぜ2つの数の差は絶対値が同じなのか |5-3|=|3-5|=2

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ある数の絶対値とはなにかというのは、ここではある数が負の数なら、単に正の数になるように符号を変えるだけとします。正の数はそのままです。
絶対値を数式で表すときは|-2|というように式を||で囲んで書くことになっています。

$$|5-3|=2$$

$$|3-5|=|-2|=2$$

したがって、|5-3|=|3-5|=2ですね。

どんな2つの数についてもこれは言えることなのでしょうか?

文字式で考えると、aとbという2つの数があって、|a-b|=|b-a|が言えるのかなというわけです。けっこう謎ですよね。

ここで、bをb=a+hとしてみたらどうなるでしょう。どんなbでもaを基準にしてそれに適切なhを足したものとして表すことができますね。

|a-b| = |a – (a + h)| = |-h|

|b-a| = |(a + h) – a| = |h|

おっと、|h| = |-h| なのは絶対値の定義から明らかですね。

文字式でそうなることが言えたのだから、どれでも2つの数について|a-b|=|b-a|だと言えそうです。

 




数の概念の拡張にもとなう物理学の発展

以前のエントリで、マイナスの数でさえ斬新な考え方であった時期が存在したことを書きましたが、さらに言えば、ゼロの発見も大発見であったわけで、そういう数とはこういうものという認識が広がるたびにそれにともなって、そういう斬新な数の概念を使えば我々が暮らすリアルな世の中のある法則がきれいに数式に乗るという歴史の繰り返しを見ることができます。(数とは何かとは深刻な問題で、ピタゴラスの時代なんかは無理数√2のせいで人が殺されています。(2020/05/20 追記:ガセだという噂を聞きました))

例えば、私が知っている限り最新の数の概念でもっとも一般的な複素数は、虚数を含み虚数単位iは2乗すると-1になるという奇妙に感じられる性質を持っています。

では、なぜそんな虚数を数として認識するようになったかといえば、たとえば電磁波の振舞いは複素数を使えば驚くほどきれいに記述することができるからです。

でですよ、もし複素数からさらにもう一歩、数の概念が広がれば、たとえば、いろいろ人間の直感に反しているように感じられる量子力学なんかももっと納得する感じでビシッと決まるのかなぁとアマチュアとしては妄想します。

分数の足し算はなぜ通分してから分子を足すのか 2/3 + 3/5 = 19/15

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通分とは、2つの分数(ここでは 2/3 と 3/5)のそれぞれの数としての値は保ったまま分母をそろえることをいいます(ここでは分母を15にそろえる)。

準備として、
$$\frac{5}{5} = 1$$

$$\frac{3}{3} = 1$$

という大前提があったうえで、ある数に1を×しても数としての値はもとのままです。

$$10 × 1 = 10 × \frac{5}{5}= 10$$
$$10 × 1 = 10 × \frac{3}{3} = 10$$

この仕組みを使って、数としての値を保ったまま分母を希望の数に変えることができます。

$$\frac{2}{3} = \frac{2}{3} × 1 = \frac{2}{3} × \frac{5}{5}= \frac{10}{15}$$

$$\frac{3}{5} = \frac{3}{5}×1 = \frac{3}{5} × \frac{3}{3}= \frac{9}{15}$$

と分母を15にそろえて通分すると足し算は次のようになります。

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15}$$

続いて次のように変形します。

$$\frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{1}{15} × 10 + \frac{1}{15} × 9$$

分配法則によって分数をくくりだすと…

$$\frac{1}{15} × 10 + \frac{1}{15} × 9 = \frac{1}{15} × ( 10 + 9 ) = \frac{1}{15} × 19 = \frac{19}{15}$$

となるわけです。

結果として、

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{19}{15}$$

ということが説明できました。

結論として、分数の足し算は、まず通分により分母をそろえてから分子を足し算してやるというやり方でできるのです。

なぜ 2 × 3 = 3 × 2 なのか(交換法則)

[mathjax]

まず×の計算を+で表すことにします。

$$2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6$$

ですね。

また、

$$3 × 2 = 3 + 3 = 6$$

となります。このようにすべての×の計算は+の計算に直せます。

ここで、なぜ、

$$3 + 3 = 2 + 2 + 2$$

となるか不思議ではないでしょうか。

そこで図で考えます。

〇〇
〇〇
〇〇

3 × 2 = 3 + 3は次のように理解できます。

〇   〇
〇 + 〇
〇   〇

2 × 3 = 2 + 2 + 2は次のように理解できます。

〇 〇
  +
〇 〇
  +
〇 〇

まったく同じ図をa × b = b × aについても描いて理解することができます。

こうして、×は交換法則が成り立つということが理解できます。




なぜ分配法則が成り立つのか 2×(3 + 4) = 2×3 + 2×4

[mathjax]

まず、2 × (3 + 4) を計算してくださいと言われたら、ほとんどの方が次のように計算するのではないでしょうか。

$$2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14$$

カッコは最初に計算するというルールがありましたね。

しかし、中学校の数学で習う分配法則を使うと、次のようにも計算できるのです。

$$2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14$$

というものです。

たしかに最初の計算結果と一致します。

なぜ、この分配法則が成り立つのか説明してくださいと言われたら困る人も多いのではないでしょうか。足してから掛けたものと、掛けてから足したものがどうして同じ結果になるのか…

なぜならそういうものだからとか、結局、そう覚えているだけという人も多いと思います。

しかし、数学はすべてなぜそうなるのかという説明ができるのです。

ここでは、掛け算の式を足し算を使って同じ意味になるように変形することで、分配法則が成り立つことを説明します。

まず、2×3は+を使って表すとどういう意味かというと
$$2 × 3 = 2 + 2 + 2$$

また2×4は、

$$2 × 4 = 2 + 2 + 2 + 2$$

です。つまりすべての×を使った計算は+だけの計算に直すことができるのです。

ここまでの説明から、2 × (3 + 4)は+だけ使って表すと次のようになります。

$$2 × (3 + 4) = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2$$

7個の2が+されていますが、これを3個と4個に分けてまとめると、

$$2 × (3 + 4)  = (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2)$$

ここで思い出していただきたいのは、

$$2 × 3 = 2 + 2 + 2$$

$$2 × 4 = 2 + 2 + 2 + 2$$

ということです。

この知識を使って式を引き続き変形すると、

$$2 × (3 + 4) = (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2) = 2×3 + 2×4$$

というようになります。

これで、

$$2 × (3 + 4) = 2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14$$

ということが説明できました。




ask something 何かを尋ねる / ask for something 何かをくれという

もちろん、口語ではこの原則は崩れることがままあるでしょうが、いちおう現時点で”正しい”とされている用法としてこの区別をします。

I asked the price. 値段を尋ねた。

I asked for the menu. メニューをくれといった。

 




 

I’m good = 結構です

2012年8月20日(月曜日) のNHKラジオ英会話のスキットからです。

Wife: I’m fixing myself an omelet. Want some?
Husband: I’m good.

妻:オムレツつくっているんだけど、少しほしい?

夫:いやいいよ。

 




I’m easy. = かまわないよ。

I’m easy.

会話の相手がなにか提案のようなこちらの判断を尋ねる問いをしたときの答えとして、とくに構わないというニュアンスを伝える表現としてとてもこなれていますね。

これはNHKラジオ英会話2017年4月10日のスキットにでてきます。

Wife: We could prep our lunches for the whole week; that is, if you don’t mind eating the same thing for lunch every day.
一週間全部のランチを準備することだってできそう。ただし、毎日ランチに同じものを食べても構わなければだけれど。

Albert: I’m easy.
僕なら構わないよ。

 




Google Adsense の審査に通りました

もう広告をこのブログにも掲載しているんですが、Google Adsense というGoogleが元締めの広告システムにこのサイトが認められました。

申請をだしてから2か月くらいたった気がします。ほとんど諦めていてAmazonの広告をばんばん載せていたんですが、昨日、審査に通った旨のメールが来て、めでたく広告も配信されています。

見るとはなしに、「こうすれば審査に通る!」みたいな情報を見かけたりしていたんですが、はっきりいってほとんどあてにならないなという感想です。

まぁ、そういうわけで広告をバンバン載せていきたいと思います。

ちなみに、同じくGoogle傘下のYoutubeにも気が向いたときに動画をあげているんですが、そういうのも含めて今、累計500円くらいになっていますね(笑)。

英会話動画の美人の外国人女性がでている動画が他の動画を再生数で圧倒しています。

やっぱり世の中そういうことかと(笑)、そういうフィードバックも得られるので自分でやってみると面白いですね。




無限にも大小関係があった!

高校数学の美しい物語で解説されていますが無限といったってある無限と別の無限で、その大きさを比べることができるそうです。その物差しとして使うのが濃度という考え方ですね。

以前から、無限の大きさを比べる濃度というものがあることは知っていたんですが、今日やっと納得しました。

すごいことを考える人もいるんだなぁと感心するばかりです。

“無限”とずいぶん気安く使ってますが、たとえば、自然数1, 2, 3, 4, 5, … の個数というものを想像することができます。そう”無限”にありますね。

では、そういう自然数(1, 2, 3, 4, 5, 6, …)の個数を表す無限と整数(…, -2, -1, 0, 1, 2, …)の個数を表す無限ではどちらかが”より大きい無限である”ということはあるのかという考えのよりどころとして濃度というものを考えることができます。

自然数と整数は可算無限集合なので、おなじくらいの大きさの無限だと言えます。

a call = a decision = 判断

call には名詞として”判断”という意味があります。こなれたインフォーマルな会話なんかで使う表現です。

Make a wise call. = 賢明な判断をしなさい。

That’s a tough call. = 難しい判断ですね。

なんて使いますね。




big = 重要な

big には重要な(important)という意味があります。

この意味の場合には名詞の前にだけつきます。

a big decision = 大きな決断 = 重要な決断

あたりは日本語でもしっくりきます。

I have a big day tomorrow. = 明日は意識の上で大きな日 = 大切な日 = 明日は忙しい。

大きな日という言葉は日本語の語感として素直になじまないかもしれません。

 




√2が無理数であることの証明

[mathjax]
実数の範囲で考えると、実数であることがわかっているある数は、有理数もしくは無理数のどちらかです。
有理数は整数の分数の形で表すことができる数と定義されています。
いま、

$$\sqrt{2} = \frac{m}{n}$$

と表せると仮定します(つまり有理数であると仮定)。
m と n は、適切な互いに素な自然数(1, 2, 3, 4, … )とします。互いに素とは、最大公約数が1であるということです。

このとき両辺を2乗してみます(両辺を2乗しても=は成り立ったままです)。

$$ 2 = \frac{m^2}{n^2}$$

さらに、両辺にnの2乗をかけます(当然=は成り立ったまま)。

$$2n^2 = m^2$$

大前提として、m と n は互いに素であると仮定したので、m と n の両方に2が素因数として含まれていることはないはずです(でないと2が最大公約数になってしまい互いに素ではなくなる)。

この左辺と右辺をそれぞれ素因数分解して比べたらどうなるかを考えます。
左辺に素因数2があるため、= が成り立つような m という自然数は2を素因数として含んでいるはずです。そういう m の2乗である右辺には因数として2の偶数乗が含まれます。しかし左辺の n の 2乗には2は含まれないはずなので左辺を素因数分解したときは2が1つあるだけです。ここに矛盾が生じます。

$$m^2 は2の偶数乗を因数として含んでいるはず(左辺に2があるため)$$

$$n^2 は2を素因数として含んではいない(mと互いに素であるため)$$

左辺の素因数分解には2が1つしかないが、右辺の素因数分解には2が偶数個含まれるはず。
このように矛盾が導かれたので、最初の仮定

$$\sqrt{2} = \frac{m}{n} = 有理数$$

が間違っているとわかります。
するとルート2は実数ではあるのに、有理数ではないので、必然的に無理数であることがわかります。

英語で人を知っている(know)というときの注意点

Know + 人 は個人的な体験を通じて”知っている”人のことを言うときにおもに使います。

You don’t know my mother, do you?  – No, I’ve never met her.

それ以外の場合は、Know of + 人 やKnow about + 人、Heard of + 人 などを使います。

We all know about Abraham Lincoln. (× we all know Abraham Lincoln.)

元ネタはPractical English Usageです。

give away と give out の使い分け

give awaygive out もgiveの根元的な意味である”与える”に直接かかわる意味をもちます。それだけにうっかり混同しがちですね。

give something away = give something as a gift = プレゼントとしてあげる

give something out = give something to a lot of people = 配布する

 

give と away をくっつけてしまうと名詞 giveaway になります。

a giveaway = something that a company gives for free, usually with something else that is for sale.  = 景品(みたいなもの)

 

give out は他にもよく使われる意味がありますね。

After a long walk, my feet gave out. = 長い散歩のあとで、私の足が音を上げた(stop working)。

ここらへんの句動詞(phrasal verb)は、こなれた話し言葉で好まれ、会話文を勉強すると身に付きますね。

私が使っている英語辞書の紹介

私の”NHKラジオ英会話”学習環境




0 – 4 = 0 (ゼロひく4はゼロ)?

青空学園数学科によると、圧力の単位パスカルに名前が使われるほどの偉い人であるブレーズ・パスカル(1623-1662)さんは、

「ゼロから4を引けばゼロであることを理解できない人がいるのを知っている」

と言ったらしいです。

つまり、当時キレッキレの数学者であるパスカルさんでさえ 0 – 4 = 0 と真剣に思っていたんですね。

こういう風に、いまわれわれは当たり前に 0 – 4 = -4 と理解していますが、それも17世紀当時は斬新な考え方だったんですね。

なので、中学に入ってマイナスの数を習って難しいなと感じている人も安心してください。

別に”当たり前のこと”ではないんです。

数の概念の拡張にもとなう物理学の発展