結論から言って、$$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$$ で、√の中の数字を掛け算してやるのが正しいのですが、そこには数学だけあって、なぜそうなのかという理屈があります。
√2 × √3 = √6 だけ計算できて、なぜそうなるのか説明できない状態は、車の運転に例えると、運転はできるけど、なぜアクセルを踏むと車が動くのか、それはエンジンがあって…という理屈を理解していない状態です。
テストで今より点をとるには、運転だけできればいいという状態の生徒もいますが、より発展的な問題を考える必要のある生徒には、この「なぜ」まで教えています。
まず√2 は 1.41421356….とか√3 は 1.7320508…. とか、無限に続く少数です。そして、日本語で表現すると、
「√2とは２乗すると2になる正の数」
「√3とは２乗すると3になる正の数」
と言えます。
これを数式で表すとと
「(√2)^2 = 2」
「(√3)^2 = 3」
となります。
なぜ、２乗すると２になる正の数と２乗すると３になる正の数を掛け算すると、結果が２乗すると６になる正の数になるのか…。けっこう謎ですね。
で、$$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$$ をよく見てみると、
右辺は２乗すると６になる正の数。そしてそれと＝なので左辺も２乗すると６になるはずと数式は訴えています。
※ 「ルートのからむ問題でつまったら、平方根(平方つまり２乗するとその数になる根となる数の意味)というだけあって２乗と関係が深いから、とりあえず２乗するとどうなるかやってみて」と生徒にアドバイスすることが多いです。
実際に左辺を２乗してみます。
(√2 × √3)^2
= (√2 × √3) ×(√2 × √3)
※掛け算の交換法則を使います
= (√2 × √2) ×(√3 × √3)
= (√2)^2 × (√3)^2
※√2、√3を２乗すると当然、定義により…
= 2 × 3
= 6
おっと、(√2 × √3)^2 = 6 がわかりました。
この等式を日本語で考えると、
「√2 × √3 とは、２乗すると６になる正の数（√2と√3は正の数なのでその積も正の数です）」
ということを我々に訴えています。
ここで、「２乗すると６になる正の数」」は、√を使って数学の言葉で書くと、
√6
です。
すなわち、
√2 × √3 = √6
だと言えました。
これとまったく同じ論法で、
√a × √b = √ab
が言えるので、√同士の掛け算は、中の数字同士を掛けるだけでよいということが説明できます。
