三次元空間では垂直≠直交

たぶん私が現役の中高生だったころは、区別できていたんでしょうけど、数年前に教科書を読みながら数学を思い出すまで、この違いをすっかり忘れていました。

端的に言うと、3次元空間でねじれの位置にある2直線が垂直であることもありえるということですね。ただこの2直線は直交するとは言えません。


たしかに数研出版の高校生向け数学の教科書の記述では、上記のように理解できるのですが、高等数学ではもっといろいろあるのかなとWikipediaの記述を読んで思いました。

n(A∪B)の考え方ハック

結論として、集合論において、Aという集合の要素数をn(A)と表記すると、

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

なのですが、その簡単なイメージです。ベン図を使えばよいのですが、手軽に書けるものがないので文章にします。

ベン図において、集合Aは円によって表現されます。で、このAを表す円を色紙を円形に切り取ったものとするのです。

で、集合Bも同じように円形の色紙とします。

そうすると、まんなかのA∩BはAとBの2枚の色紙が重なっているとみなすことができます。

Aを表す円形の面積がn(A)と対応しているとすると、n(A) + n(B) はn(A∩B)の部分の面積を1つ余分に足してしまっていることになるので、A∪Bの面積すなわちn(A∪B)を計算するときは、2枚重なっているA∩Bの部分から、1枚n(A∩B)をひくわけです。

n(A∪B∪C)も同様のイメージで導けます。

関数を表現する3つの方法

中学では、比例、反比例、一次関数、二次関数などの関数(xに入れる数を決めるとそれに従ってyの数が決まるもの)を扱います。

こういうxとyの関係を表す方法には3つあります。

・言葉による表現 :  yはxに比例し、比例定数は2である。

・数式による表現: y = 2x

・グラフによる表現:

中学生が解かなければいけない問題では、この3つの表し方を自由に行き来することを求められます。例えば、”yはxに比例し、比例定数は3である。yをxの式で表しなさい”などです。