分数の割り算

を分数の掛け算に変形できることを示そうという数学勉強ノートです。

割り算の定義を以下のようにするとします。(フィーリングなんで数学的厳密さは求めません)


$$a × b = c ・・・ ①$$

という実数a, b, cの間に掛け算の関係があるとき、

$$c ÷ b = a ・・・ ②$$

となるような演算(割り算)÷が存在するとする。また②が成立するときは①も成立するとする。


このとき次のような等式を考えてみると、

$$(\frac{a}{b} × \frac{d}{c}) × (\frac{c}{d}) = \frac{a}{b}$$

これは式①のような2つの数の掛け算の形の等式なので、式②に相当する÷を使った等式を考えると、

$$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} × \frac{d}{c}$$

が成り立つ。これで分数の割り算である左辺を分数の掛け算である右辺で表すことができた。

高校数学の美しい物語さんが書かれた上記の本をさっそく買って読んでこんなメモを書いてみました。

組合わせと順列

数学勉強ノートです。


組合わせは、いくつかのものの中から一部を取り出したもので、取り出されたものの順序は考えない。ある袋に入っている異なるもののなかから、いくつかを同時に取り出して 別の袋へ入れたという操作をイメージするとわかりやすい。

例としてa, b, c, dの4個の文字の中から、異なる3個を同時にとりだす組合わせを考える。

たとえば、組合わせ a-b-c を考えることができるが、このとき、組合わせとしては、a-b-c と b-a-c や c-b-a などは同じものとみなす。

異なるn個のものの中から異なるr個を取り出し、順序は考慮しないで1組にしたものを、n個からr個取る組合わせといい、その総数(場合の数)を

$${}_n \mathrm{ C }_r$$

で表す。記号CはCombination(組合せ)を表す。


順列とは、いくつかのものの中からその一部を取り出して順序をつけて並べたもの。

例としてa, b, c, dの4個の文字の中から、異なる3個をとって一列に並べる順列を考える。

たとえば、a-b-cなどがその例となる。ここで順列としては、順序がちがうと異なるものとして認識するので、 a-b-c と b-a-c は異なるものとして扱う。

異なるn個のものの中から、異なるr個を取り出して並べる順列を、n個からr個取る順列といい、その総数(場合の数)を

$${}_n \mathrm{ P }_r$$

で表す。記号PはPermutation(順列)を表す。


初期状態: 最初に袋Aに1, 2, 3, …, nと番号が書いてあるボールがn個入っているとする。

操作1:この袋Aからr個のボールを取り出し、袋Bに入れるとする。これはn個のものからr個を取り出す組み合わせなので、その総数(場合の数)は

$${}_n \mathrm{ C }_r$$

と表記できる。

操作2:操作1のあとで袋Bに入っているr個のボールを順序をつけて並べ順列を作る。この順列の総数(場合の数)は、r個の中からr個をとる順列なので

$${}_r \mathrm{ P }_r = r!$$

と表記できる。

操作1と操作2を合わせて考えると、n個の中からr個とる順列を表しているので、それらの総数(場合の数)は

$${}_n \mathrm{ P }_r = r!{}_n \mathrm{ C }_r $$

となる。

メンデルさん…

数研出版 数学Ⅰより引用


イギリスの統計学者フィッシャー(1890-1962)は数学に基礎づけられた現代の統計学を確立し、その視点から適切な実験のありかたを具体的に開発した。統計学は数学のもつ普遍性にも支えられて、医学や薬学から心理学や社会学までデータを用いるすべての分野に関わる。

フィッシャーの研究のエピソードの一つを紹介しよう。

エンドウ豆の交配実験に基づいてメンデル(1822-1884)が発表した遺伝子に関する法則が、1900年に再発見された。遺伝学の発展の時代に育ったフィッシャーは、メンデルの法則ダーウィン(1809-1882)が1859年に著書『種の起源』で提唱した進化論の関係を整理するために、1936年に発表した論文でメンデルの論文を詳細に再検討した。フィッシャーは統計学的方法によって、メンデルの先見の明を確認すると同時に、メンデルが論文で報告した一部のデータについては、散らばりが少なく、メンデルの法則に合いすぎていて、実験によって得られたとおりの数値とは考えがたいことを発見した。


エンジニア失格