なぜ 2 × 3 = 3 × 2 なのか(交換法則)

まず×の計算を+で表すことにします。

$$2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6$$

ですね。

また、

$$3 × 2 = 3 + 3 = 6$$

となります。このようにすべての×の計算は+の計算に直せます。

ここで、なぜ、

$$3 + 3 = 2 + 2 + 2$$

となるか不思議ではないでしょうか。

そこで図で考えます。

〇〇
〇〇
〇〇

3 × 2 = 3 + 3は次のように理解できます。

〇   〇
〇 + 〇
〇   〇

2 × 3 = 2 + 2 + 2は次のように理解できます。

〇 〇
  +
〇 〇
  +
〇 〇

まったく同じ図をa × b = b × aについても描いて理解することができます。

こうして、×は交換法則が成り立つということが理解できます。




Come on! We’re not savages. = たのむよ土人じゃないんだから

映画やドラマでよく聞くフレーズですね。

土人 = 未開地域の原始的な生活をしている住民を侮蔑していった語。

savage = (old-fashioned) an offensive word for someone who belongs to a people that is simple and not developed

 




なぜ分配法則が成り立つのか 2×(3 + 4) = 2×3 + 2×4

まず、2 × (3 + 4) を計算してくださいと言われたら、ほとんどの方が次のように計算するのではないでしょうか。

$$2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14$$

カッコは最初に計算するというルールがありましたね。

しかし、中学校の数学で習う分配法則を使うと、次のようにも計算できるのです。

$$2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14$$

というものです。

たしかに最初の計算結果と一致します。

なぜ、この分配法則が成り立つのか説明してくださいと言われたら困る人も多いのではないでしょうか。足してから掛けたものと、掛けてから足したものがどうして同じ結果になるのか…

なぜならそういうものだからとか、結局、そう覚えているだけという人も多いと思います。

しかし、数学はすべてなぜそうなるのかという説明ができるのです。

ここでは、掛け算の式を足し算を使って同じ意味になるように変形することで、分配法則が成り立つことを説明します。

まず、2×3は+を使って表すとどういう意味かというと
$$2 × 3 = 2 + 2 + 2$$

また2×4は、

$$2 × 4 = 2 + 2 + 2 + 2$$

です。つまりすべての×を使った計算は+だけの計算に直すことができるのです。

ここまでの説明から、2 × (3 + 4)は+だけ使って表すと次のようになります。

$$2 × (3 + 4) = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2$$

7個の2が+されていますが、これを3個と4個に分けてまとめると、

$$2 × (3 + 4)  = (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2)$$

ここで思い出していただきたいのは、

$$2 × 3 = 2 + 2 + 2$$

$$2 × 4 = 2 + 2 + 2 + 2$$

ということです。

この知識を使って式を引き続き変形すると、

$$2 × (3 + 4) = (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2) = 2×3 + 2×4$$

というようになります。

これで、

$$2 × (3 + 4) = 2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14$$

ということが説明できました。