1/2乗ってなんなのか

$$2^\frac{1}{2}$$

これってなんだろう…ととっさに考えてしまいますよね。

高校あたりで、累乗(るいじょう)の指数(しすう)が分数になった場合なんて例がでてきますね。

数学を忘れてしまっても、その痕跡は頭に残っていることが多いですよね。で、その知識をつないで理解できないでしょうか。

まず、簡単そうな例で実験をします。カギとなるのは、累乗を分かりやすい掛け算にもどして考えることですね。

$$2^3=2 × 2 × 2$$

これは何となく思い出せました。また、それをさらに2乗したりして…

$$(2^3)^2 = (2 × 2 × 2)^2 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2^{3×2} = 2^6$$

この実験から、

$$(2^m)^n = 2^{m×n}$$

こういうことが一般的に言えるのではないかと推測します。

では、

$$(2^\frac{1}{2})^2$$

はこの技をつかうとどうなるかというと…

$$(2^\frac{1}{2})^2=2^{\frac{1}{2}×2}=2^{\frac{2}{2}}=2^1=2$$

あっ!!

$$2^\frac{1}{2}$$

って2乗すると2になる数だ! それって2の正の平方根つまり、

$$2^\frac{1}{2} = \sqrt{2}$$

ということか!

となりますね。




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