対数ってなんだったっけ…


たしか指数関数の逆っぽいやつだったような…

すっごく分かりやすい数字を材料にしていろいろ実験してみるか…

$$10^2=100$$

ってのがあったとして、2乗のこの2がメインになった感じで、

$$2 = \log_{10} 100$$

とかいうちょっとした記述法か…。つまり、

$$\log_{10} 100$$
これはである10を何乗すれば結果として100になるかというその何乗という数の表現方法ですね。

じゃぁ

$$10^3=1000$$

から、

$$3 = \log_{10}1000$$

となるのか…。

じゃぁ、書き方を変えて、
$$10^2 = 10^{\log_{10}100} = 100$$

$$10^3 = 10^{\log_{10}1000} = 1000$$

ということも成り立つな…。

昔の感じがつかめてきたところで、文字で考え始めて…
$$10^{\log_{10} m} = m$$

$$10^{\log_{10} n} = n$$

これをもとに、掛け算をしてみて、
$$10^{\log_{10} m} × 10^{\log_{10} n} = 10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$

(ここでは、

$$10^a × 10^b = 10^{a + b}$$

という知識を使っています。)

というわけで、次のようなことがわかりました。

$$10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$
これをもとに、logの定義から考えて…

$${\log_{10} m} + {\log_{10} n} = \log_{10} mn$$

なるほど!

じゃ、こんどは…

$$\frac{10^{\log_{10} m}}{10^{\log_{10} n}} = 10^{{\log_{10} m} – {\log_{10} n}} = \frac{m}{n}$$

(
$$\frac{1}{a^3} = a^{-3}$$
)
なので、

$${\log_{10} m} – {\log_{10} n} = \log_{10}\frac{m}{n}$$

となる!




1/2乗ってなんなのか

$$2^\frac{1}{2}$$

これってなんだろう…ととっさに考えてしまいますよね。

高校あたりで、累乗(るいじょう)の指数(しすう)が分数になった場合なんて例がでてきますね。

数学を忘れてしまっても、その痕跡は頭に残っていることが多いですよね。で、その知識をつないで理解できないでしょうか。

まず、簡単そうな例で実験をします。カギとなるのは、累乗を分かりやすい掛け算にもどして考えることですね。

$$2^3=2 × 2 × 2$$

これは何となく思い出せました。また、それをさらに2乗したりして…

$$(2^3)^2 = (2 × 2 × 2)^2 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2^{3×2} = 2^6$$

この実験から、

$$(2^m)^n = 2^{m×n}$$

こういうことが一般的に言えるのではないかと推測します。

では、

$$(2^\frac{1}{2})^2$$

はこの技をつかうとどうなるかというと…

$$(2^\frac{1}{2})^2=2^{\frac{1}{2}×2}=2^{\frac{2}{2}}=2^1=2$$

あっ!!

$$2^\frac{1}{2}$$

って2乗すると2になる数だ! それって2の正の平方根つまり、

$$2^\frac{1}{2} = \sqrt{2}$$

ということか!

となりますね。




0乗ってどうなるのか 2^0 = ?


累乗の素朴な理解では例えば、

$$2^3 = 2 × 2 × 2$$

なんて考えられます。

$$2^0$$

これは何になるんだろうとうっかり数学からすこし遠ざかっていると思うかもしれません。

ここで、つぎのような式を頭に浮かべます。

$$2^3 * 2^2 = (2 * 2 * 2) * (2 * 2) = 2^{3+2} = 2^5$$

つまり、

$$2^m * 2^n = 2^{m+n}$$

が成りたつっぽいですね。

では、次のような式が成り立てばピシッとはまりますね。

$$2^3 * 2^0 = 2^{3+0} = 2^3$$

で、この式がなりたつには、
$$2^0 = 1$$
だといいなぁとなって、実際、任意の実数aについて、
$$a^0 = 1$$
とされています。

$$2^3 = 1 × 2 × 2 × 2$$

と覚えとくといいのかもしれません。

この理解の仕方で、0の0乗を考えてみます。0の3乗から順番に見ていきましょう。

$$0^3 = 1 × 0 × 0 × 0 = 0$$

$$0^2 = 1 × 0 × 0 = 0$$

$$0^1 = 1 × 0 = 0$$

$$0^0 = 1$$

となりますが、実際に数学では、

$$0^0 = 1$$

とすることが多いそうです。