対数ってなんだったっけ…


たしか指数関数の逆っぽいやつだったような…

すっごく分かりやすい数字を材料にしていろいろ実験してみるか…

$$10^2=100$$

ってのがあったとして、2乗のこの2がメインになった感じで、

$$2 = \log_{10} 100$$

とかいうちょっとした記述法か…。つまり、

$$\log_{10} 100$$
これはである10を何乗すれば結果として100になるかというその何乗という数の表現方法ですね。

じゃぁ

$$10^3=1000$$

から、

$$3 = \log_{10}1000$$

となるのか…。

じゃぁ、書き方を変えて、
$$10^2 = 10^{\log_{10}100} = 100$$

$$10^3 = 10^{\log_{10}1000} = 1000$$

ということも成り立つな…。

昔の感じがつかめてきたところで、文字で考え始めて…
$$10^{\log_{10} m} = m$$

$$10^{\log_{10} n} = n$$

これをもとに、掛け算をしてみて、
$$10^{\log_{10} m} × 10^{\log_{10} n} = 10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$

(ここでは、

$$10^a × 10^b = 10^{a + b}$$

という知識を使っています。)

というわけで、次のようなことがわかりました。

$$10^{{\log_{10} m} + {\log_{10} n}} = mn$$
これをもとに、logの定義から考えて…

$${\log_{10} m} + {\log_{10} n} = \log_{10} mn$$

なるほど!

じゃ、こんどは…

$$\frac{10^{\log_{10} m}}{10^{\log_{10} n}} = 10^{{\log_{10} m} – {\log_{10} n}} = \frac{m}{n}$$

(
$$\frac{1}{a^3} = a^{-3}$$
)
なので、

$${\log_{10} m} – {\log_{10} n} = \log_{10}\frac{m}{n}$$

となる!




1/2乗ってなんなのか

$$2^\frac{1}{2}$$

これってなんだろう…ととっさに考えてしまいますよね。

高校あたりで、累乗(るいじょう)の指数(しすう)が分数になった場合なんて例がでてきますね。

数学を忘れてしまっても、その痕跡は頭に残っていることが多いですよね。で、その知識をつないで理解できないでしょうか。

まず、簡単そうな例で実験をします。カギとなるのは、累乗を分かりやすい掛け算にもどして考えることですね。

$$2^3=2 × 2 × 2$$

これは何となく思い出せました。また、それをさらに2乗したりして…

$$(2^3)^2 = (2 × 2 × 2)^2 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 2^{3×2} = 2^6$$

この実験から、

$$(2^m)^n = 2^{m×n}$$

こういうことが一般的に言えるのではないかと推測します。

では、

$$(2^\frac{1}{2})^2$$

はこの技をつかうとどうなるかというと…

$$(2^\frac{1}{2})^2=2^{\frac{1}{2}×2}=2^{\frac{2}{2}}=2^1=2$$

あっ!!

$$2^\frac{1}{2}$$

って2乗すると2になる数だ! それって2の正の平方根つまり、

$$2^\frac{1}{2} = \sqrt{2}$$

ということか!

となりますね。




0乗ってどうなるのか 2^0 = ?


累乗の素朴な理解では例えば、

$$2^3 = 2 × 2 × 2$$

なんて考えられます。

$$2^0$$

これは何になるんだろうとうっかり数学からすこし遠ざかっていると思うかもしれません。

ここで、つぎのような式を頭に浮かべます。

$$2^3 * 2^2 = (2 * 2 * 2) * (2 * 2) = 2^{3+2} = 2^5$$

つまり、

$$2^m * 2^n = 2^{m+n}$$

が成りたつっぽいですね。

では、次のような式が成り立てばピシッとはまりますね。

$$2^3 * 2^0 = 2^{3+0} = 2^3$$

で、この式がなりたつには、
$$2^0 = 1$$
だといいなぁとなって、実際、任意の実数aについて、
$$a^0 = 1$$
とされています。

$$2^3 = 1 × 2 × 2 × 2$$

と覚えとくといいのかもしれません。

この理解の仕方で、0の0乗を考えてみます。0の3乗から順番に見ていきましょう。

$$0^3 = 1 × 0 × 0 × 0 = 0$$

$$0^2 = 1 × 0 × 0 = 0$$

$$0^1 = 1 × 0 = 0$$

$$0^0 = 1$$

となりますが、実際に数学では、

$$0^0 = 1$$

とすることが多いそうです。




なぜ2つの数の差は絶対値が同じなのか |5-3|=|3-5|=2

ある数の絶対値とはなにかというのは、ここではある数が負の数なら、単に正の数になるように符号を変えるだけとします。正の数はそのままです。
絶対値を数式で表すときは|-2|というように式を||で囲んで書くことになっています。

$$|5-3|=2$$

$$|3-5|=|-2|=2$$

したがって、|5-3|=|3-5|=2ですね。

どんな2つの数についてもこれは言えることなのでしょうか?

文字式で考えると、aとbという2つの数があって、|a-b|=|b-a|が言えるのかなというわけです。けっこう謎ですよね。

ここで、bをb=a+hとしてみたらどうなるでしょう。どんなbでもaを基準にしてそれに適切なhを足したものとして表すことができますね。

|a-b| = |a – (a + h)| = |-h|

|b-a| = |(a + h) – a| = |h|

おっと、|h| = |-h| なのは絶対値の定義から明らかですね。

文字式でそうなることが言えたのだから、どれでも2つの数について|a-b|=|b-a|だと言えそうです。

 




数の概念の拡張にもとなう物理学の発展

以前のエントリで、マイナスの数でさえ斬新な考え方であった時期が存在したことを書きましたが、さらに言えば、ゼロの発見も大発見であったわけで、そういう数とはこういうものという認識が広がるたびにそれにともなって、そういう斬新な数の概念を使えば我々が暮らすリアルな世の中のある法則がきれいに数式に乗るという歴史の繰り返しを見ることができます。(数とは何かとは深刻な問題で、ピタゴラスの時代なんかは無理数√2のせいで人が殺されています。(2020/05/20 追記:ガセだという噂を聞きました))

例えば、私が知っている限り最新の数の概念でもっとも一般的な複素数は、虚数を含み虚数単位iは2乗すると-1になるという奇妙に感じられる性質を持っています。

では、なぜそんな虚数を数として認識するようになったかといえば、たとえば電磁波の振舞いは複素数を使えば驚くほどきれいに記述することができるからです。

でですよ、もし複素数からさらにもう一歩、数の概念が広がれば、たとえば、いろいろ人間の直感に反しているように感じられる量子力学なんかももっと納得する感じでビシッと決まるのかなぁとアマチュアとしては妄想します。

分数の足し算はなぜ通分してから分子を足すのか 2/3 + 3/5 = 19/15

通分とは、2つの分数(ここでは 2/3 と 3/5)のそれぞれの数としての値は保ったまま分母をそろえることをいいます(ここでは分母を15にそろえる)。

準備として、
$$\frac{5}{5} = 1$$

$$\frac{3}{3} = 1$$

という大前提があったうえで、ある数に1を×しても数としての値はもとのままです。

$$10 × 1 = 10 × \frac{5}{5}= 10$$
$$10 × 1 = 10 × \frac{3}{3} = 10$$

この仕組みを使って、数としての値を保ったまま分母を希望の数に変えることができます。

$$\frac{2}{3} = \frac{2}{3} × 1 = \frac{2}{3} × \frac{5}{5}= \frac{10}{15}$$

$$\frac{3}{5} = \frac{3}{5}×1 = \frac{3}{5} × \frac{3}{3}= \frac{9}{15}$$

と分母を15にそろえて通分すると足し算は次のようになります。

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15}$$

続いて次のように変形します。

$$\frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{1}{15} × 10 + \frac{1}{15} × 9$$

分配法則によって分数をくくりだすと…

$$\frac{1}{15} × 10 + \frac{1}{15} × 9 = \frac{1}{15} × ( 10 + 9 ) = \frac{1}{15} × 19 = \frac{19}{15}$$

となるわけです。

結果として、

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{19}{15}$$

ということが説明できました。

結論として、分数の足し算は、まず通分により分母をそろえてから分子を足し算してやるというやり方でできるのです。

なぜ 2 × 3 = 3 × 2 なのか(交換法則)

まず×の計算を+で表すことにします。

$$2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6$$

ですね。

また、

$$3 × 2 = 3 + 3 = 6$$

となります。このようにすべての×の計算は+の計算に直せます。

ここで、なぜ、

$$3 + 3 = 2 + 2 + 2$$

となるか不思議ではないでしょうか。

そこで図で考えます。

〇〇
〇〇
〇〇

3 × 2 = 3 + 3は次のように理解できます。

〇   〇
〇 + 〇
〇   〇

2 × 3 = 2 + 2 + 2は次のように理解できます。

〇 〇
  +
〇 〇
  +
〇 〇

まったく同じ図をa × b = b × aについても描いて理解することができます。

こうして、×は交換法則が成り立つということが理解できます。




なぜ分配法則が成り立つのか 2×(3 + 4) = 2×3 + 2×4

まず、2 × (3 + 4) を計算してくださいと言われたら、ほとんどの方が次のように計算するのではないでしょうか。

$$2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14$$

カッコは最初に計算するというルールがありましたね。

しかし、中学校の数学で習う分配法則を使うと、次のようにも計算できるのです。

$$2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14$$

というものです。

たしかに最初の計算結果と一致します。

なぜ、この分配法則が成り立つのか説明してくださいと言われたら困る人も多いのではないでしょうか。足してから掛けたものと、掛けてから足したものがどうして同じ結果になるのか…

なぜならそういうものだからとか、結局、そう覚えているだけという人も多いと思います。

しかし、数学はすべてなぜそうなるのかという説明ができるのです。

ここでは、掛け算の式を足し算を使って同じ意味になるように変形することで、分配法則が成り立つことを説明します。

まず、2×3は+を使って表すとどういう意味かというと
$$2 × 3 = 2 + 2 + 2$$

また2×4は、

$$2 × 4 = 2 + 2 + 2 + 2$$

です。つまりすべての×を使った計算は+だけの計算に直すことができるのです。

ここまでの説明から、2 × (3 + 4)は+だけ使って表すと次のようになります。

$$2 × (3 + 4) = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2$$

7個の2が+されていますが、これを3個と4個に分けてまとめると、

$$2 × (3 + 4)  = (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2)$$

ここで思い出していただきたいのは、

$$2 × 3 = 2 + 2 + 2$$

$$2 × 4 = 2 + 2 + 2 + 2$$

ということです。

この知識を使って式を引き続き変形すると、

$$2 × (3 + 4) = (2 + 2 + 2) + (2 + 2 + 2 + 2) = 2×3 + 2×4$$

というようになります。

これで、

$$2 × (3 + 4) = 2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14$$

ということが説明できました。




ask something 何かを尋ねる / ask for something 何かをくれという

もちろん、口語ではこの原則は崩れることがままあるでしょうが、いちおう現時点で”正しい”とされている用法としてこの区別をします。

I asked the price. 値段を尋ねた。

I asked for the menu. メニューをくれといった。