なぜ √2 × √3 = √6 か


結論から言って、$$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$$ で、√の中の数字を掛け算してやるのが正しいのですが、そこには数学だけあって、なぜそうなのかという理屈があります。

√2 × √3 = √6 だけ計算できて、なぜそうなるのか説明できない状態は、車の運転に例えると、運転はできるけど、なぜアクセルを踏むと車が動くのか、それはエンジンがあって…という理屈を理解していない状態です。

テストで今より点をとるには、運転だけできればいいという状態の生徒もいますが、より発展的な問題を考える必要のある生徒には、この「なぜ」まで教えています。

まず√2 は 1.41421356….とか√3 は 1.7320508…. とか、無限に続く少数です。そして、日本語で表現すると、

「√2とは2乗すると2になる正の数」
「√3とは2乗すると3になる正の数」

と言えます。

これを数式で表すとと

「(√2)^2 = 2」

「(√3)^2 = 3」

となります。

なぜ、2乗すると2になる正の数と2乗すると3になる正の数を掛け算すると、結果が2乗すると6になる正の数になるのか…。けっこう謎ですね。

で、$$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}$$ をよく見てみると、
右辺は2乗すると6になる正の数。そしてそれと=なので左辺も2乗すると6になるはずと数式は訴えています。

※ 「ルートのからむ問題でつまったら、平方根(平方つまり2乗するとその数になる根となる数の意味)というだけあって2乗と関係が深いから、とりあえず2乗するとどうなるかやってみて」と生徒にアドバイスすることが多いです。

実際に左辺を2乗してみます。

(√2 × √3)^2
= (√2 × √3) ×(√2 × √3)

※掛け算の交換法則を使います
= (√2 × √2) ×(√3 × √3)
= (√2)^2 × (√3)^2

※√2、√3を2乗すると当然、定義により…
= 2 × 3
= 6

おっと、(√2 × √3)^2 = 6 がわかりました。

この等式を日本語で考えると、

「√2 × √3 とは、2乗すると6になる正の数(√2と√3は正の数なのでその積も正の数です)」

ということを我々に訴えています。

ここで、「2乗すると6になる正の数」」は、√を使って数学の言葉で書くと、

√6

です。

すなわち、

√2 × √3 = √6

だと言えました。

これとまったく同じ論法で、

√a × √b = √ab

が言えるので、√同士の掛け算は、中の数字同士を掛けるだけでよいということが説明できます。




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